2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第六节第2课时直线和双曲线讲义（Word附解析）

第2课时　直线和双曲线【核心考点·分类突破】考点一　直线与双曲线的位置关系[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的交点个数是 (　　)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.方法一:联立直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的方程,y29-x216=13x-4y=0,得y29-169y216=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点.方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,因为直线3x-4y=0是双曲线y29-x216=1的一条渐近线,因此交点个数为0.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________. 【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点,只需01,所以10,b>0),联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0时,-ba0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于2点;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离.【对点训练】1.(2024·哈尔滨模拟)双曲线x29-y24=1与直线y=-23x+m(m∈R)的公共点的个数为 (　　)A.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】选C.因为双曲线x29-y24=1的渐近线方程为y=±23x,所以,当m=0时,直线l:y=-23x+m与双曲线的一条渐近线重合,此时直线l与双曲线无交点;当m≠0时,直线l与双曲线的一条渐近线平行,此时直线l与双曲线有一个交点.2.(2024·盐城模拟)定义曲线a2x2-b2y2=1为双曲线x2a2-y2b2=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为 (　　)A.0 B.1C.2 D.与点P的位置有关系【解析】选B.双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为1x2-1y2=1,设P(m,n)为1x2-1y2=1上一点,则1m2-1n2=1,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n),所以直线MN:y=-nmx+n,联立x2-y2=1y=-nmx+n,得(1-n2m2)x2+2n2mx-n2-1=0,所以Δ=2n2m2-4×(1-n2m2)×(-n2-1)=4n4(1+1n2)-4×1-n2(1+1n2)×(-n2-1)=0,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1.3.(2024·东营模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A为双曲线C的左顶点,B为虚轴的上顶点,直线l垂直平分线段AB,若直线l与C存在公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是 (　　)A.(2,3) B.(2,+∞)C.(3,+∞) D.(1,2)【解析】选B.依题意,可得A(-a,0),B(0,b),则kAB=b-00+a=ba,又因为直线l垂直平分线段AB,所以kl=-ab,因为直线l与C存在公共点,所以-ab>-ba,即a22,解得e>2,所以双曲线C的离心率的取值范围是(2,+∞).【加练备选】　　 (2024·吉林模拟)已知直线L:y=12x+m与曲线C:y=12|4-x2|仅有三个交点,则实数m的取值范围是 (　　)A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】选C.由题意得曲线C:y=12|4-x2|,即2y=|4-x2|,可得4y2=|4-x2|(y≥0);当4-x2≥0时得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);当4-x2<0时得到x24-y2=1(y≥0);由以上可得曲线C的图象如图所示,易知直线L:y=12x+m与双曲线x24-y2=1的一条渐近线y=12x平行;把直线y=12x向上平移到(0,1)点时,即y=12x+1与曲线C有两个交点,此时m=1;继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.当直线与椭圆的上半部分相切时,联立直线与椭圆的方程y=12x+mx24+y2=1代入整理得2x2+4mx+4m2-4=0,Δ=16m2-8(4m2-4)=0即m=2或-2(舍),由图示可得m<2;综上可知10,b>0)上,C的一条渐近线的方程为x-3y=0,左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作斜率为3的直线,分别交C的两条渐近线于A,B两点,则下列结论正确的个数为 (　　)①双曲线的离心率为233;②直线AB的方程为3x-y-23=0;③直线AB截双曲线所得弦长为3;④OA·OB=9.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题意双曲线的渐近线的方程为x-3y=0,焦点在x轴上,所以ba=13,所以双曲线的离心率为:e=ca=1+b2a2=1+132=233,故①正确;因为点P(23,1)在双曲线C上,所以(23)2a2-12b2=1⇒12a2-1b2=1,联立ba=13,解得:a=3,b=3,所以c=a2+b2=23,所以F2(23,0),所以过点F2作斜率为3的直线AB为:y=3(x-23)⇒3x-y-6=0,故②不正确;由上述可知双曲线C:x29-y23=1,联立x29-y23=13x-y-6=0,消去y整理得:8x2-363x+117=0,解得:x1=93+34,x2=93-34,所以直线AB截双曲线所得弦长为:1+k2|x1-x2|=1+(3)2×|93+34-93-34|=3,故③正确;由双曲线的渐近线方程为:x±3y=0,由x+3y=03x-y-6=0,解得点A(332,-32),由x-3y=03x-y-6=0,解得点B(33,3),所以OA·OB=332×33+(-32)×3=9,故④正确.角度2 中点弦问题[例3](多选题)(2024·南通模拟)已知曲线C:x24-y2m=1(m≠0),下列结论正确的是 (　　)A.若曲线C表示椭圆,则m<0且m≠-4B.若m=-5,则以P(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程为5x-4y-1=0C.当m<-4时,F1,F2为焦点,P为曲线上一点,且△PF1F2为直角三角形,则△PF1F2的面积等于4D.若m>0,则存在四条过点(0,1)的直线l与曲线C有且只有一个公共点【解析】选ACD.对于A,若曲线C表示椭圆,则m<0且m≠-4,故A正确;对于B,m=-5时,曲线C为椭圆x24+y25=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,又x124+y125=1x224+y225=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)5=0,所以k=y1-y2x1-x2=-5×24×2=-54,所以AB所在的直线方程为y-1=-54(x-1),即5x+4y-9=0,故B错误;对于C,当m<-4时,曲线C:y2-m+x24=1表示焦点在y轴上的椭圆,则|PF1|+|PF2|=2-m,则(|PF1|+|PF2|)2=-4m,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=-4m①,由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4(-m-4)②,由①②可得|PF1||PF2|=8,则△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=4,故C正确;对于D,m>0时,曲线C:x24-y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线,由题意,过点(0,1)的直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,代入双曲线方程x24-y2m=1,消去y整理得(m-4k2)x2-8kx-4-4m=0,因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,当m-4k2≠0时,Δ=64k2-4(m-4k2)(-4-4m)=0,即4k2=m+1,所以k=±m+14=±m+12;当m-4k2=0时,k=±m2,直线l与渐近线平行,符合题意.故m>0时,存在四条过点(0,1)的直线l与曲线C有且只有一个公共点,故D正确.【解题技法】1.解决直线与双曲线相交有关问题的解题策略(1)解决弦长问题,可联立直线与双曲线方程,消元转化为关于x(或y)的一元方程,利用弦长公式即可求解;(2)解决中点弦问题,常常采用点差法求解,但一定要注意直线是否与双曲线相交的判断.2.相交弦AB的弦长公式AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2,或AB=1+1k2y1-y2=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2.【对点训练】1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是 (　　)A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x1+x22,y1+y22),可得kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2,因为A,B在双曲线上,则x12-y129=1x22-y229=1,两式相减得(x12-x22)-y12-y229=0,所以kAB·k=y12-y22x12-x22=9.对于选项A:可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程y=9x-8x2-y29=1,消去y得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;对于选项B:可得k=-2,kAB=-92,则AB:y=-92x-52,联立得方程组y=-92x-52x2-y29=1,消去y得45x2+2×45x+61=0,此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2 880<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;对于选项D:k=4,kAB=94,则AB:y=94x-74,联立得方程组y=94x-74x2-y29=1,消去y得63x2+126x-193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确.2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(6,2),N(-23,-6).(1)求双曲线Γ的离心率e;【解析】(1)设双曲线Γ的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则(6)2a2-(2)2b2=1(-23)2a2-(-6)2b2=1,解得b2=2a2=3,所以c2=a2+b2=5,e=ca=153;2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(6,2),N(-23,-6).(2)若直线l:y=33x-1与双曲线Γ交于A,B两点,求弦长|AB|.【解析】(2)由(1)得双曲线Γ的方程为x23-y22=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,x1+x2=-23,x1·x2=-9,|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+13)×48=8,故弦长|AB|为8.【加练备选】(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;【解析】(1)由动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和到直线l:x=102的距离的比值为2,可得(x-10)2+y2|x-102|=2,整理得x25-y25=1,　即曲线C的方程为x25-y25=1.(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(10,0)之间的距离和点P到直线l:x=102的距离的比值为2,记点P的轨迹为曲线C.(2)若O为坐标原点,直线y=12x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积.【解析】(2)联立方程组y=12x+1x25-y25=1,整理得3x2-4x-24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2=-8,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×432-4×(-8)=2953,又由点O到直线y=12x+1的距离d=11+14=255,所以△OAB的面积S=12|AB|·d=12×2953×255=2193.考点三　双曲线的综合问题[例4](1)(多选题)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=53,则 (　　)A.|PF1|=213B.|AB|的最小值为323C.若|AF2|=7,则|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈(-∞,-43)∪(43,+∞)【解析】选ACD.对于A选项,设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax,即bx-ay=0,则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为|bc|b2+a2=b,因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53,则c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以a=3,c=5.在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=45,在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2|·|PF2|·cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×45=52,所以|PF1|=213,故A正确;对于B选项,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为6<323,即|AB|的最小值不可能为323,故B错误;对于C选项,因为|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|0x1+x2=90k216-9k2<0x1x2=225k2+1449k2-16>0,解得k<-43或k>43,故D正确.(2)(2024·郑州模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|AD|·|AB|=32.①求双曲线C的方程.【解析】①双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,双曲线C上一点(x0,y0)到渐近线距离之积为|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|c2=a2b2c2,由题知a2=3,a2b2c2=32.因为c2=a2+b2,所以a=b=3,故双曲线C的方程为x23-y23=1.(2)(2024·郑州模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|AD|·|AB|=32.②已知点P(2,-1),两个不重合的动点M,N在双曲线C上,直线PM,PN分别与y轴交于点E,F,点Q在直线MN上,OE+OF=0且PQ⊥MN,试问是否存在定点T,使得|QT|为定值?若存在,求出点T的坐标和|QT|;若不存在,请说明理由.【解析】②显然直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程得y=kx+m,x2-y2=3,整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则1-k2≠0,Δ=4(m2+3-3k2)>0,x1+x2=2km1-k2,x1x2=-m2-31-k2,直线PM的方程为y=y1+1x1-2(x-2)-1,令x=0,则y=x1+2y12-x1,得E(0,x1+2y12-x1),同理得F(0,x2+2y22-x2),由OE+OF=0,可得x1+2y12-x1+x2+2y22-x2=0,所以x1+2(kx1+m)2-x1+x2+2(kx2+m)2-x2=0,所以[(2k+1)x1+2m](2-x2)+[(2k+1)x2+2m](2-x1)=(4k+2-2m)(x1+x2)-(4k+2)x1x2+8m=(4k-2m+2)×2km1-k2-(4k+2)×-m2-31-k2+8m=0,整理得m2+(2k+4)m+6k+3=(m+3)(m+2k+1)=0.当m+2k+1=0,即m=-2k-1时,直线MN的方程为y=k(x-2)-1,过点P(2,-1),与PQ⊥MN矛盾,舍去;当m=-3时,直线MN的方程为y=kx-3,恒过点G(0,-3),设PG的中点为T,则T(1,-2),因为PQ⊥MN,所以|QT|=12|PG|=2,为定值.故存在T(1,-2),使|QT|为定值2.【解题技法】双曲线的综合问题(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.【对点训练】(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B.若|AB|=1,则下列说法错误的有 (　　)A.双曲线E的离心率为2B.双曲线E的方程为x2-y23=1C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为3π16D.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条【解析】选ACD.如图,设PF1,PF2与△PAF2的内切圆分别相切于M,N两点,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因为2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,所以c2=b2+a2=9-5=4,可得b2=3,所以双曲线E的离心率为ca=2,故A错误;所以双曲线E的方程为x2-y23=1,故B正确;对于C,若PF1⊥PF2,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2可得(m+2)2+m2=16,解得m=7-1,可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|PM|+1)2+(7-1)2=(7-|PN|)2=(7-|PM|)2,解得|PM|=4-73,即内切圆的半径为r=4-73,则△PAF2的内切圆面积为4-732π,故C错误;对于D,当过点(1,1)的直线与x轴垂直时,其方程为x=1,与双曲线方程联立得x2-y23=1x=1,可得y=0,即直线x=1与双曲线E有一个交点;当过点(1,1)的直线与x轴不垂直时,设其方程为y-1=k(x-1),与双曲线方程联立得x2-y23=1y-1=k(x-1),可得(3-k2)x2+(2k2-2k)x+2k-4-k2=0,当k=±3时,此时可得直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点;当3-k2≠0即k≠±3时,由(2k2-2k)2-4(3-k2)(2k-4-k2)=0得-24k+48=0,可得k=2,此时直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点.综上所述,过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有4条,故D错误.