2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第三节等比数列讲义（Word附解析）

第三节　等比数列【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】　在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y=a1q·qx的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq.特别地,若m+n=2p,则am·an=ap2.(2)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)等比数列{an}的单调性:当q>1,a1>0或00,所以q=32.考点二　等比数列的判定与证明[例2]已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列an+n2为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)因为2an+1=6an+2n-1(n∈N*),所以an+1=3an+n-12,所以an+1+n+12an+n2=3an+n-12+n+12an+n2=3an+32nan+n2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列an+n2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,an+n2=32×3n-1=12×3n,所以an=12×3n-n2.【解题技法】等比数列的判定方法【对点训练】　数列{an}中,a1=2,an+1=n+12nan(n∈N*).证明数列{ann}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.【解析】由题设得an+1n+1=12·ann,又a11=2,所以数列{ann}是首项为2,公比为12的等比数列,所以ann=2×(12)n-1=22-n,an=n·22-n=4n2n.【加练备选】　 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列bn的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=54.所以数列bn是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为bn=54·2n-1=5·2n-3.(2)数列bn的前n项和Sn=54(1-2n)1-2=5·2n-2-54,即Sn+54=5·2n-2,所以S1+54=52,Sn+1+54Sn+54=5·2n-15·2n-2=2.因此{Sn+54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三　等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1 等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　)A.30 B.10 C.9 D.6【解析】选B.已知an为各项均为正数的等比数列,则an>0,可得a1>0,q>0,因为a32=a2a4=9, 所以a3=3,又因为9S4=10S2,则9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2),可得9(a3+a4)=a1+a2,所以a3+a4a1+a2=q2=19,解得q=13,故a2+a4=a3q+a3q=10.角度2 等比数列前n项和的性质[例4]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　)A.10 B.15 C.20 D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(S4+5)2S4=S4+25S4+10≥2S4·25S4+10=20,当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3 等比数列的单调性[例5]已知{an}是等比数列,a1>0,前n项和为Sn,则“2S80, 2S81,所以q=32.2.设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1