2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第二节等差数列讲义（Word附解析）

第二节　等差数列【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等差数列的有关概念2.等差数列的前n项和公式【微点拨】(1)等差数列前n项和公式可变形为Sn=d2n2+(a1-d2)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数);(2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值.a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是(　　)A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2C.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数D.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列【解析】选BD.A中从第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;BD正确;C中如果数列为0,0,0,0,…则其通项公式不是一次函数.2.(选择性必修第二册P14例1·变题型)已知等差数列an的通项公式为an=-5n+3,则它的公差为(　　)A.3 B.-3 C.5 D.-5【解析】选D.依题意,等差数列an的通项公式为an=-5n+3,a1=-2,a2=-7,所以公差为a2-a1=-5.3.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　)A.25 B.22 C.20 D.15【解析】选C.等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10,所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,则d=a8-a48-4=1,a1=a4-3d=5-3=2,则S5=5a1+5×42d=10+10=20.4.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为125,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)A.(875,+∞) B. (-∞,325)C.(875,325) D.(875,325]【解析】选D.由题意可得a10>1,a9≤1,即125+9d>1,125+8d≤1,所以8759),若Sn=336,则n的值为(　　)A.18 B.19 C.20 D.21【解析】选D.因为{an}是等差数列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=n(a1+an)2=n(a5+an-4)2=n2×32=16n=336,解得n=21.角度2 等差数列求和[例4](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.63 B.45 C.36 D.27【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=3n+1n+1,则a2+a5+a8b3+b7=________. 【解析】因为数列an,bn为等差数列,且前n项和分别为An和Bn,则a2+a5+a8b3+b7=3a52b5,且a5b5=9(a1+a9)29(b1+b9)2=A9B9,又AnBn=3n+1n+1,所以a5b5=A9B9=3×9+19+1=145,所以a2+a5+a8b3+b7=3a52b5=32×145=215.答案:215角度3 等差数列求最值[例5](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(　　)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.方法一 (邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.方法二(函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.方法三(图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112=7时,Sn取得最大值.【解题技法】等差数列前n项和最值的求法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;(2)邻项变号法①当a1>0,d<0时,满足am≥0,am+1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm;②当a1<0,d>0时,满足am≤0,am+1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.【对点训练】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1-am2-1=0,S2m-1=39,则m等于(　　)A.39 B.20 C.19 D.10【解析】选B.已知数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1-am2-1=0可化为2am-am2-1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 022,S2 0242 024-S2 0182 018=6,则S2 025=________. 【解析】由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,设其公差为d,则S2 0242 024-S2 0182 018=6d=6,所以d=1,所以S2 0252 025=S11+2 024d=-2 022+2 024=2,所以S2 025=4 050.答案:4 0503.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8 时Sn取得最大值,则d的取值范围为________. 【解析】由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得d<0,a8>0,a9<0,即d<0,7+7d>0,7+8d<0,解得-1