2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第五节第2课时余弦定理、正弦定理应用举例讲义（Word附解析）

第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).【微点拨】仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.3.方向角相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.东南方向就是指南偏东45°的方向B.若从A处看B处的仰角为α,从B处看A处的俯角为β,则α+β=180°C.点A在B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角为200°D.俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0,π2]【解析】选AC.根据方向角与方位角的定义知A,C正确.根据仰角、俯角的定义可知B,D错误.2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的 (　　)A. 北偏东10°方向上B. 北偏西10°方向上C. 南偏东80°方向上D. 南偏西80°方向上【解析】选D. 由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为 (　　)A. msinβsinα　 B. msinαsinβC. msinβsin(α+β)　 D. msin(α+β)sinβ【解析】选C.因为ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AC=AB·sin∠ABCsin∠ACB=msinβsin(α+β).4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732) (　　)A.346 B.373 C.446 D.473【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足(图略),由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin 75°=100cos15°sin45°sin 15°sin 75°=502sin 15°=1003+100≈273,所以AN=BN=273,AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.【核心考点·分类突破】考点一　测量距离问题[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 (　　) A. 206海里　 B. 106海里C. 20(1+3)海里　 D. 10(1+3)海里【解析】选B.在三角形ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得CDsin45°=ACsin105°,AC=CD×sin105°sin45°=20×(sin60°cos45°+cos60°sin45°)sin45°=10(3+1).在三角形BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20,由余弦定理得AB=AC2+BC2-2×AC×BC×cos60°=106(海里).(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64 cm,AD=10 cm,BE=14 cm,A=B=π6,则D,E两点间的距离为__________cm.(参考数据:3≈1.732) 【解析】如图,延长AD,BE交于点C,因为A=B=π6,所以C=2π3,故ACsinB=BCsinA=ABsinC,所以AC=BC=34.64×1232=34.643≈34.641.732=20(cm).由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=2π3,故DE=CD2+CE2-2CD·CEcosC=14(cm),故D,E两点间的距离为14 cm.答案:14【解题技法】距离问题的类型及解法(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【对点训练】1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为__________海里. 【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64-2×8×8×cos150°=82+3.在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BCsin15°,BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°-30°)=16×(22×32-22×12)=16×6-24=4(6-2).在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB=AC2+BC2-2×AC×BC×cos120°=256+64×2+3×2-3=256+64=85(海里).答案:852.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,即MN2=22+22-2×2×2×(-12)=12,可得MN=23,所以线段MN的长度为23千米.(2)设∠PMN=α∈(0,2π3),因为∠MPN=π3,所以∠PNM=2π3-α,在△PMN中,由正弦定理得MNsin∠MPN=PMsin∠PNM=PNsin∠PMN,因为MNsin∠MPN=23sin π3=4,所以PM=4sin∠PNM=4sin(2π3-α),PN=4sin∠PMN=4sin α,因此PM+PN=4sin(2π3-α)+4sin α=4(32cos α+12sin α)+4sin α=6sin α+23cos α=43sin(α+π6),因为0