新高考数学一轮复习 专项分层精练第21课 三角函数的两角和与差（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选:B.
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： SKIPIF 1 < 0 ,
即： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取 SKIPIF 1 < 0 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β SKIPIF 1 < 0 ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
4．（2023春·江苏徐州·高三新沂市第三中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 中已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 进行化简整理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
5．（2021·山东泰安·统考模拟预测）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，且 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减
D．方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有201个根
【答案】AD
【分析】根据平移得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合对称轴即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，判断A；再计算出 SKIPIF 1 < 0 可判断B；化简求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断C；根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可判断D.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A项正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B项错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，C项错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有201个根，D项正确．
故选：AD．
6．（2022·高一单元测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
C． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
D．将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】变形得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得
SKIPIF 1 < 0 ，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.
故选：AC.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两不等实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为正数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 取等号，等号不成立
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 取等号，
故选：BCD
【点睛】本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
三、填空题
8．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先通过 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 确定 SKIPIF 1 < 0 的范围，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两角差的余弦公式展开 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求角B.
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1) 由余弦定理可得角 SKIPIF 1 < 0 ，由两角差的正切公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) 化简 SKIPIF 1 < 0 后，将 SKIPIF 1 < 0 看成变量，则 SKIPIF 1 < 0 为一个开口向下的二次函数，根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、多选题
2．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0
D．把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象
【答案】BC
【分析】先化简整理函数 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦函数的图像与性质依次判断各选项，从而得到答案.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故图像不关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，故A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故B正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦函数性质知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度可得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BC
【点睛】方法点睛：函数 SKIPIF 1 < 0 的性质：
(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2)周期 SKIPIF 1 < 0
(3)由 SKIPIF 1 < 0 求对称轴
(4)由 SKIPIF 1 < 0 求增区间;由 SKIPIF 1 < 0 求减区间.
三、填空题
3．（2022·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
4．（2022秋·全国·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】利用余弦定理和题给条件即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，进而肯定选项A；利用余弦定理两角差的正弦公式和题给条件即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形或直角三角形，进而否定选项B；利用两角和与差的余弦公式及题给条件即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，进而肯定选项C；利用正弦定理均值定理和题给条件即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，进而肯定选项D.
【详解】选项A：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.判断正确；
选项B：由 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形或直角三角形.判断错误；
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.判断正确；
选项D：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立），可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确.
故选：ACD
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据函数的奇偶性求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意推得 SKIPIF 1 < 0 的关系式，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
或 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，k取负值，
则只能 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
综合可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0