新高考数学一轮复习 专项分层精练第23课 降幂及辅助角公式（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.
【详解】解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2013·浙江·高考真题）函数ƒ(x)＝sin xcs x＋ SKIPIF 1 < 0 cs 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1B．π，2
C．2π，1D．2π，2
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简 SKIPIF 1 < 0 ，再求最小正周期和振幅即可.
【详解】ƒ(x)＝ SKIPIF 1 < 0 sin 2x＋ SKIPIF 1 < 0 cs 2x＝sin SKIPIF 1 < 0 ，
所以振幅为1，最小正周期为T＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有1个最低点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据x的范围，可求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，根据题意，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算即可得答案.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个最低点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二、多选题
5．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考期末）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个解，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D．1
【答案】AC
【分析】整理换元之后，原问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个解，即 SKIPIF 1 < 0 的图象和直线 SKIPIF 1 < 0 只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个解，即 SKIPIF 1 < 0 的图象和直线 SKIPIF 1 < 0 只有1个交点.
由图可知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AC.
6．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
B． SKIPIF 1 < 0 的图象可由 SKIPIF 1 < 0 的图象平移得到
C． SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴均为 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐一判断即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 的子集，所以函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，因此选项A正确；
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，因为左右、上下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴不为 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴，因此选项C不正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，该函数有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项D正确，
故选：AD
7．（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 B．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
C． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点
【答案】ACD
【分析】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，显然最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；代入 SKIPIF 1 < 0 计算周期； SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 结合正弦函数判断单调性；直接代入计算 SKIPIF 1 < 0 判断零点．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：ACD．
三、填空题
8．（2019·山东临沂·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据降幂公式，化简 SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 两边平方，化简即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入式中即可求值．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
两边同时平方得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
由降幂公式可知
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了降幂公式与同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．
9．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.
【详解】解：由降幂公式得： SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，对称轴方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，通过平移规律可得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．若曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2D． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】ABD
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合题意得 SKIPIF 1 < 0 ，进而再讨论各选项即可得答案.
【详解】解：因为曲线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确；
所以， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故D选项正确.
故选：ABD
三、解答题
4．（2023春·山东淄博·高一校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为8．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及函数 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，[ SKIPIF 1 < 0 ](k∈Z)；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，在结合 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用正弦的和角公式求 SKIPIF 1 < 0 ﹒
【详解】（1）由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴f(x)的单调递减区间为[ SKIPIF 1 < 0 ](k∈Z)；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，由(1)有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ﹒
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023春·高一单元测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个周期B．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有4个零点
【答案】CD
【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和 SKIPIF 1 < 0 得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.
【详解】选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
选项B、D：函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，并且 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数为偶函数；因为 SKIPIF 1 < 0 ，为周期函数，
故仅需研究函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域及零点个数即可，因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且仅一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 且仅一个零点；
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则得函数 SKIPIF 1 < 0 在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
二、填空题
2．（2021·浙江·模拟预测）若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式的推广形式，即可求解.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，等号在 SKIPIF 1 < 0 时取到.
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0