新高考数学二轮复习热点2-2 函数的最值（值域）及应用（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
【题型1 单调性法求函数的最值（值域）】
【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，此时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，此时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【解析】由“对勾函数”的性质可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
【题型2 图象法求函数的最值（值域）】
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）画出 SKIPIF 1 < 0 的图像，并直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值域；
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）图象见解析，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的图象如图：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）对 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中的较大者，记为 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
函数图象如图所示：
由图可得，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在区间 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
作函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示函数 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象可知，在区间 SKIPIF 1 < 0 上总有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，此时 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【题型3 换元法求函数的最值（值域）】
【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质知，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向下，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由解析式易知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0
原函数可整理为： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
原函数转化为： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【题型4 分离常数法求函数的最值（值域）】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数的值域可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式4-2】（2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
故函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-3】（2023·全国·高三对口高考）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
【题型5 判别式法求函数的最值（值域）】
【例5】（2023·河南平顶山·高三阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，和为6．故选：B．
【变式5-1】（2022·陕西·高三校联考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程在 SKIPIF 1 < 0 有根
所以 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上得： SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原函数化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴综上，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-3】（2023·广东茂名·统考二模）已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以关于b的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有正根，
只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
此时，关于b的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两根 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两根同号，只需 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 （此时 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ）.
【题型6 几何法求函数的最值（值域）】
【例6】（2023·河北·校联考三模）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的几何意义是在直角坐标平面内定点 SKIPIF 1 < 0 与动点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
易知动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆除 SKIPIF 1 < 0 以外的点上，
易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示圆 SKIPIF 1 < 0 上的点与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
由图象可知：过 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，斜率必然存在，
则设过 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到切线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象可知：圆 SKIPIF 1 < 0 上的点与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求值域化为求 SKIPIF 1 < 0 轴上点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 距离差的范围，如下图示，
由图知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，左侧等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式6-3】（2023·陕西铜川·校考一模）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由该式的几何意义得下面图形， SKIPIF 1 < 0 ，
其中直线 SKIPIF 1 < 0 为圆的切线，由图知 SKIPIF 1 < 0 .
由图知 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故所求值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型7 导数法求函数的最值（值域）】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式7-1】（2023·上海虹口·高三校考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式7-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
1.若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
2.若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-3】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【题型8 已知函数的最值（值域）求参数】
【例8】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 要取遍所有的正数．
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A．
【变式8-1】（2023·上海青浦·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以不满足；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数单调性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
若要满足 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，只需要 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时显然能满足 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相交，
若 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，以实数 SKIPIF 1 < 0 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 SKIPIF 1 < 0 ；
同理当 SKIPIF 1 < 0 ,值域也不是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式8-3】（2022·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
所以需要当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
原式转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 是二次函数，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
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1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ∴原式 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
由外层函数 SKIPIF 1 < 0 和内层函数 SKIPIF 1 < 0 复合而成，
当 SKIPIF 1 < 0 时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．1 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝3 SKIPIF 1 < 0 －4 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－10 D．10
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，2].
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，（其中有 SKIPIF 1 < 0 ）.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10× SKIPIF 1 < 0 ＝－8.故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，综上可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数在 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ；故选：A
8．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 的函数值可能是（ ）
A．0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 的函数值可能是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）（多选）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都存在正数M使得 SKIPIF 1 < 0 总成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 总成立， SKIPIF 1 < 0 不是有界函数；
对于B： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有界函数；
对于C： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有界函数；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故不存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 总成立， SKIPIF 1 < 0 不是有界函数；故选：BC．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为开口方向向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数在 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时等式不成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0
14．（2021·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可得， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，要使方程有解，
则需 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0
15．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）若对任意实数a，b规定 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】2
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】分别作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，
分别取点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号.
故得的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
则原函数化为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
18．（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数）的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
满分技巧
函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数的单调性，从而求得值域；
（2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。
（3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性。
满分技巧
画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数。
满分技巧
换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的结构，可用“ SKIPIF 1 < 0 ”换元；
（2） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均为常数， SKIPIF 1 < 0 ），可用“ SKIPIF 1 < 0 ”换元；
（3） SKIPIF 1 < 0 型的函数，可用“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”换元；
满分技巧
分离常数法：
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 的函数，可分离为 SKIPIF 1 < 0 ，然后求值域；
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 ，将分子配成分母的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）形如 SKIPIF 1 < 0 ，将分母配成分子的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为 SKIPIF 1 < 0
满分技巧
形如 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的函数求值域，可将函数转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次项系数不为0，判别式 SKIPIF 1 < 0 或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。
满分技巧
分析代数式的结构，一般情况表示的斜率、截距、距离等几何意义。
满分技巧
对可导函数 SKIPIF 1 < 0 求导，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
满分技巧
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。