新高考数学二轮复习重难点2-2 抽象函数及其应用（8题型 满分技巧 限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
【题型1 抽象函数的定义域问题】
【例1】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
满分技巧
求抽象函数的定义域
①已知的定义域，求的定义域：
若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域;
②已知的定义域，求的定义域：
若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域；
③已知的定义域，求的定义域:
可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域；
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.
注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的.
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【变式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式1-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【题型2 抽象函数的求值问题】
【例2】（2024·山西晋城·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2-1】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
满分技巧
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值。
【变式2-2】（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【变式2-4】（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
【题型3 抽象函数的解析式问题】
【例3】（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【变式3-1】（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.
【变式3-3】（2023·江苏·高一课时练习）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有
满分技巧
①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；
②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求；
③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；
④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；
⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式；
⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式.
，求.
【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】（2024·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 ．
【变式4-1】（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是 .
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（ ）
A． B．， C．， D．，
【变式4-3】（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）（多选）已知函数的定义域和值域均为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【变式4-4】（2022·全国·高三课时练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 抽象函数的单调性问题】
满分技巧
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
【例5】（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
【变式5-1】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A． B．函数在区间为增函数
C．函数在区间为增函数 D．
【变式5-2】（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.
（1）求，判断并证明的单调性；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式5-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，．
（1）证明：为减函数；
（2）若，求不等式的解集．
【变式5-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.
（1）求的值;
（2）判断的单调性，并证明;
（3）解关于的不等式:.
或.
【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
【例6】（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【变式6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【变式6-2】（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知 ，且，则是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定
【变式6-3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ）
A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．
（1）求，，的值；
（2）判断的奇偶性，并证明．
【题型7 抽象函数的周期性问题】
满分技巧
奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系.
【例7】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意实数，都满足且，，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式7-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
【变式7-4】（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则 .
满分技巧
函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则（）；
【题型8 抽象函数的对称性问题】
【例8】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数
【变式8-1】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．是周期函数 D．
满分技巧
1、轴对称：
（1）函数关于直线对称
（2）函数关于直线对称.
2、中心对称：
（1）函数关于点对称；
（2）函数关于点对称
3、函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若为奇函数，则关于对称；
（2）若为偶函数，则关于对称；
（3）若为奇函数，则关于对称；
（4）若为偶函数，则关于对称.
【变式8-3】（2024·河南漯河·高三统考期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C． D．
（建议用时：60分钟）
1．（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A．B．
C． D．若，则周期为
6．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
7．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
8．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为偶函数
10．（2024·广东汕头·高三统考期末）（多选）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（ ）
A．B．在上单调递减
C． D．
11．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
12．（2023·四川泸州·统考一模）若函数对一切实数，都满足且，则 ．
13．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，且，，则 ．
14．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）定义在R上的函数对任意，都有，当时，.
（1）求的值；
（2）试判断在R上的单调性，并说明理由；
（3）解不等式.
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数对任意，，总有，且当时，，．
（1）求证：是上的奇函数；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，求实数的取值范围．