江苏省东海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省东海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,,则M、N、P的关系满足( ).
A.B.C.D.
2．已知集合,若集合M有15个真子集,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
3．设集合,,则( )
A.B.
C.D.
4．已知命题“,”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．如果对于任意实数x,表示不超过x的最大整数.例如,.那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知实数,,,且,则以下说法正确的是( )
A.B.的值为4或8C.D.的值为
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下,人们在泉口吼叫或发出其他声响时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大,涌起的泉水越高,声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级,记作L（单位:分贝）,即.若某处“喊泉”的声强级L（单位:分贝）与喷出的泉水高度x（单位:分米）满足关系式,A,B两人分别在这处“喊泉”大喊一声,若A“喊泉”喷出泉水的高度比B“喊泉”喷出的泉水高度高5分米,则A“喊泉”的声强是B“喊泉”声强的( )
A.5倍B.10倍C.20倍D.100倍
8．已知,,且,则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
二、多项选择题
9．设,,若,则实数a的值为( )
A.B.C.D.0
10．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合成“偏食”.对于集合,,若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是( )
A.B.C.0D.1
11．下列说法正确的有( )
A.是的必要不充分条件
B.“,”是‘’成立的充分条件
C.命题,,则,
D.x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件
12．,运算“”为,则( )
A.B.
C.D.若a,,则
三、填空题
13．设A、B是非空集合,定义且.已知,,则________.
14．已知集合,,若,则实数a的取值范围是________.
15．已知命题“p:,”,若p是假命题,则实数a的取值范围是________.
16．设正实数b,c满足,且,则的最小值为________.
四、解答题
17．设R为全集,集合,.
（1）若,求,;
（2）若,求实数的取值范围.
18．已知集合,.
（1）若,求实数m的取值范围;
（2）若将题干中的集合B改为,是否有可能使命题:“,都有”为真命题,请说明理由.
19．已知集合,.
（1）若,求;
（2）若存在正实数m,使得“”是“”成立的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.
20．（1）计算:;
（2）已知,求的值.
21．为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验,某高中决定扩大学校规模,为学生打造一所花园式的校园.学校决定在原有的矩形花园ABCD的基础上,拓展建成一个更大的矩形花园AMPN.为了方便施工,建造时要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,如图所示.已知,.
（1）当的长度为多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
（2）要使矩形AMPN的面积大于,则DN的长应在什么范围内?
22．已知整数,集合,,,满足,对任意的,都有且.记.
（1）若,写出两组满足条件的集合A,B并写出相应的;
（2）证明:;
（3）求的所有可能取值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：若集合M有15个真子集,则M中含有4个元素,
结合,可知,即,且区间中含有4个整数,
①当时,的区间长度,此时中不可能含有4个整数;
②当时,,其中含有4、5、6、7共4个整数,符合题意;
③当时,的区间长度大于3,
若的区间长度,即.
若是整数,则区间中含有4个整数,根据,可知,,
此时,其中含有5、6、7、8共4个整数,符合题意.
若不是整数,则区间中含有5、6、7、8这4个整数,则必须且,解得;
若时,,其中含有5、6、7、8、9共5个整数,不符合题意;
当时,的区间长度,此时中只能含有6、7、8、9这4个整数,
故,即,结合可得.
综上所述,或或,即实数a的取值范围是.
故选:D.
3．答案：D
解析：易知集合,,
则中前面的系数应为2,3的最小公倍数,故排除A,B,
对于C,当时,集合为,
而令,可得k不为整数,故不含有7,
可得中不含有7,故C错误,
故选:D
4．答案：C
解析：因为命题“,”为真命题,
所以命题“,”为真命题,
所以时,.
因为,
所以当时,,此时.
所以时,,即实数a的取值范围是.
故选:C.
5．答案：B
解析：如果,比如,,则有,
根据定义,,,,
即“”不是“”的充分条件,
如果,,则有,,,,
,所以“”是“”的必要条件;
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选:B.
6．答案：B
解析：因,,,则,又,
则或.
则或4,结合,得或.
A选项,当时,;当时,,故A错误;
B选项,当时,;当时,,故B正确;
C选项,当时,;当时,,故C错误;
D选项,当时,;当时,,故D错误.
故选:B
7．答案：D
解析：设A,B的声强分别为,,A,B“喊泉”喷出泉水的高度分别为,,
则,,即,,
从而,即,所以.
故A“喊泉”的声强是B“喊泉”声强的100倍.
故选:D
8．答案：C
解析：因为,
所以,
所以,所以,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为4.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：因为,,且,
当时,,符合题意;
当时,,又,所以或,解得或,
综上,或或,
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：当时,,
当时,,
对选项A:若,,此时,不满足;
对选项B:若,,此时,满足;
对选项C:若,,此时,满足;
对选项D:若,,此时,满足;
故选:BCD.
11．答案：BD
解析：对于A,若,则,但由不能推出,
所以是的充分不必要条件,故A错误;
对于B,,时,一定成立,
所以,是成立的充分条件,故B正确;
对于C,命题,,则,,故C错误;
对于D,当,时,,
当,时,为无理数,
所以x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件,故D正确.
故选:BD.
12．答案：ABCD
解析：对于A,,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,
,
所以,故C正确;
对于D,若a,,则,,
要证,只需要证,即证,
即证,即证,即证,
因为,,所以上式成立,所以,故D正确.
故选:ABCD.
13．答案：或
解析：A、B是非空集合,且,
而,,,,
故或.
故答案为:或.
14．答案：
解析：由,可得,
由于,且,则,
所以,则实数a的取值范围是,
故答案为:
15．答案：
解析：若p是假命题,则,,
当时,代入不等式得成立;
当时,,
综上可得实数a的取值范围是.
故答案为:
16．答案：/
解析：,
由于a,b,c是正实数,且,
所以
,
当且仅当,即,所以时等号成立,
则的最小值为2,所以
,
当且仅当,即时等号成立,
则最小值为.
故答案为:.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）（1）由题意可得,
当时,,
所以,
因为,
所以
（2）由（1）知,,
若,即,解得,此时满足;
若,要使,则,解得,
综上,若,所求实数a的取值范围为
18．答案：（1）
（2）不可能,理由见解析
解析：（1）因为,
所以或或,
解得或或,
所以;
（2）若,,
对,都有,则,
所以,该不等式组无解,
故命题p:“,都有”为真命题不可能.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）
因,则.
当时,,所以.
（2）因“”是“”成立的充分不必要条件,则A是B的真子集.
所以,经检验“=”满足.
所以实数m的取值范围是.
20．答案：（1）9;
（2）1
解析：（1）
;
（2）,
,,
.
21．答案：（1）时,矩形AMPN的面积最小,最小面积2400
（2）
解析：（1）设出DN的长为,则,,
,,,
矩形AMPN的面积,
由基本不等式得:,
当且仅当时,取“=”,当,即时,;
（2）由（1）得,即,
,
或,
的范围在.
22．答案：（1）答案见解析;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）（共6组,任写2组即可）
,,.,,.
,,.,,.
,,.,,.
（2）由题设可得,
若,则,而,,,…,,
所以,
若,由于,即,由于,
故,由于,
而需要有n个不同的元素,故矛盾,因此,,结论成立.
若,则由且,,…,互不相同的正整数,知,
若,由于即,由于,
故,由于,
而需要有n个不同的元素,故,而,
故此时不符合要求,
故,所以,结论成立.
（3）设,则,,
两个中,其中一个取等号,另一个不取等号,所以比X中至少个数大,
因此,即,,…,,而,,…,两两不同,
所以,,…,恰好是,…,的一个排列.
再设,则,,…,,
,,…,恰好是,…,2n的一个排列,
所以,,…,是,…,n的排列,故有: