山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角( )
A.B.C.D.
2．圆的圆心坐标为( )
A.B.C.D.
3．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )
A.B.C.D.1
4．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为,短轴长为,小椭圆的短轴长为,则小椭圆的长轴长为______( )
A.30B.20C.10D.
5．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A.3B.2C.D.
6．如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若,且,则p为( )
A.1B.2C.3D.4
7．设M是圆上的一动点,定点,线段的垂直平分线交线段于N点,则N点的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
8．如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．点到直线，的距离可能是( )
A.B.C.D.
10．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.已知向量组是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D.若,则是钝角
11．如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F且,则下列结论中正确的是( )
A.
B.平面ABCD
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
12．已知椭圆,为C的左焦点,直线与C交于A,B两点（点A在第一象限）,直线与椭圆C的另一个交点为E,则( )
A.B.当时,的面积为
C.D.的周长的最大值为
三、填空题
13．若直线与直线平行,则直线与之间的距离为___________.
14．已知,,是不共面向量,,,,若,,三个向量共面,则实数________________.
15．已知点在圆的外部,则k的取值范围是______________.
四、双空题
16．椭圆的光学性质,从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆,,为其左、右焦点.M是C上的动点,点,若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线,右焦点关于直线l的对称点,,则椭圆C的离心率为______________;S的取值范围为______________.
五、解答题
17．直线l经过两直线和的交点.
(1)若直线l与直线平行,求直线l的方程;
(2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程.
18．已知直线和圆.
(1)若直线l交圆C于A,B两点,求弦的长;
(2)求过点且与圆C相切的直线方程.
19．如图所示,在直三棱柱中,,,,.
(1)求证：;
(2)在上是否存在点D,使得平面,若存在,确定D点位置并说明理由,若不存在,说明理由.
20．在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹为C的方程
(2)设斜率为k的直线l过定点,求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围.
21．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
22．已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.直线与椭圆交于A,B两点.且,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过原点的直线m与椭圆C交于C,D两点,且过的中点M.求四边形面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由可得直线斜率,
又,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：圆即,
则圆心为.
故选：C.
3．答案：C
解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,
为的重心,可得,
而,
,
所以,,
所以,,因此,.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同,则,即,得,
所以小椭圆的长轴长为：.
故选：B.
5．答案：D
解析：点，，
圆化为，
圆心，半径是.
直线AB的方程为，
圆心到直线AB的距离为.
直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是.
面积的最小值为.
故选：D.
6．答案：B
解析：如图,分别过点A、B作准线的垂线,垂足分别为点E、D,
设,则由已知得,由抛物线的定义得,
故,
在直角三角形中,,,
又因为,
则,从而得,
又因为,
所以.
故选：B..
7．答案：B
解析：线段的垂直平分线交线段于N点,
,而,
,又,,即N是到定点Q,P距离和为定长6的动点,
由椭圆第一定义知：,且长轴在y轴上,故N的轨迹方程为,
故选：B.
8．答案：A
解析：如图，设正方体的棱长为1，，则.
以D为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，故，，又，则，所以.
在正方体中，可知体对角线平面，所以是平面的一个法向量，所以.所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值.所以，故选A.
9．答案：ABC
解析：对于直线，，令，解得，故直线的必过点为，设点到直线，的距离为d，则，所以，，而，所以，ABC正确，D错误.
故选：ABC.
10．答案：ABC
解析：对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;
对于B,因为,且,
所以P,A,B,C四点共面,B正确;
对于C,因为是空间中的一组基底,所以,,不共面且都不为,
假设,,共面,则,
即,则,与其为基底矛盾,所以,,不共面,
所以也是空间的一组基底,C正确;
对于D,若,则是钝角或是,D错误;
故选:ABC
11．答案：ABC
解析:因为,,,
平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,故A项正确;
易知,所以,且平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD,故B项正确;
如图1,连结BD交AC于G点.
图1
因为平面,平面,所以,
所以
因为,,,平面,平面,,所以平面.
所以A到平面的距离为,
所以为定值,故C项正确;
D.当,,取F为,如下图2所示:
图2
因为,所以异面直线AE,BF所成角为,,
且;
当,,取E为,如下图3所示:
图3
易知,,所以四边形是平行四边形,所以.
因为,G是AC的中点,所以.
又,,,
所以异面直线AE,BF所成角为,且,
由此可知:异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
故选:ABC.
12．答案：AC
解析：由椭圆方程,得,所以,,所以,故A项正确;
当时,点,到的距离为2,所以的面积为,故B项错误;
因为点A在第一象限,所以直线的斜率一定存在,设直线的斜率为k,
点,
,则直线,
联立方程,得到
,,
在椭圆上,则,即
同理,
于是
,
故C项正确;
设椭圆的右焦点为,
当直线经过椭圆的右焦点时,的周长为,
如果不经过右焦点,则连接,,
可知的周长小于,
所以的周长的最大值为,故D项错误.
故选：AC.
13．答案：
解析：由于,所以,解得,
所以直线的方程为,
直线的方程为,即,
所以直线与之间的距离为.
故答案为：.
14．答案：4
解析：以为空间一组基底,
由于,,三个向量共面,所以存在,
使得,
即,
整理得,
所以,解得.
故答案为：4.
15．答案：
解析：由题意圆满足,,
点在圆的外部,
得,,
即k的取值范围是
故答案为：.
16．答案：;
解析：根据椭圆定义得：,
所以,
因为的最大值为6,,所以,即,
解得,所以离心率为;
右焦点关于直线l的对称点,
设切点为A,由椭圆的光学性质可得：P,A,三点共线,
所以,
即点的轨迹是以为圆心,半径为4的圆,
圆心到直线的距离为,
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为,最大值为,
所以点到直线的距离为,
所以表示点到直线的距离的5倍,
则,即.
故答案为：①;②.
17．答案：(1)
(2)或
解析：由,解得,
所以两直线和的交点为.
当直线l与直线平行,设l的方程为,
把点代入求得,
可得l的方程为.
（2）斜率不存在时,直线l的方程为,满足点到直线l的距离为5.
当l的斜率存在时,设直限l的方程为,即,
则点A到直线l的距离为,求得,
故l的方程为,即.
综上,直线的方程为或.
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)将圆化成标准方程：,
所以的圆心为,半径,
所以到直线的距离,
所以;
(2)①当直线斜率不存在时,过点的直线为,是圆C的一条切线;
②当直线的斜率存在时,设圆C的切线方程为,即,
所以圆心到直线的距离为r,
即,解得：,
所以此时切线方程为,化简得.
综上所述,所求的直线方程为：或.
19．答案：(1)证明见解析;
(2)在上存在点D使得平面,且D为的中点.
解析：(1)因为,,,所以,
如图所示,在直三棱柱中,以C为坐标原点,直线、、分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
因为,,
所以,,即.
(2)若存在点使平面,则,,
,,,,
因为平面,所以存在实数m、n,使成立,
则,解得,
故在上存在点D使平面,此时点D为中点.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)设是轨迹C上的任意一点,
因为点M到点的距离比它到y的距离多1,可得,
即,整理得,
所以点M的轨迹C的方程为.
(2)在点轨迹C中,记,,
因为斜率k的直线l过定点,不妨设直线l的方程为,
联立方程组,整理得,
当时,,此时,可得直线与轨迹C恰好有一个公共点;
当时,可得,不妨设直线l与x轴的交点为,
令,解得,
若直线l与轨迹C恰好有一个公共点,则满足,
解得或,
综上,当时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为E，F分别是AC和的中点，且，
所以，.
连接AF，由，，得，
于是，
所以.
由，得，
故以B为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，.
设，则，
于是.
所以，所以.
（2）平面的一个法向量为.
设面DFE的一个法向量为，，，
则，所以，
令，得，，
所以，
所以.
设面与面DFE所成的二面角为，
则，
故当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，
即当时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)设椭圆的半焦距为,
由题意可得：,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)当直线斜率存在时,设其方程为,,,
联立,可得,
可得①,且②,③
若以为直径的圆过原点,则,
整理得,
代入②③两式得,整理得④,
将④式代入①式,得恒成立,则,
由题意可设,所以,
因为,
且点到直线的距离,
可得,
又因为,则C点坐标为,
化简可得,
代入椭圆方程可得,整理得,
则,
因为,则,
所以;
当直线斜率不存在时,设,,
则,且,解得,
可知方程为,
因为直线过中点,即为x轴,
可知,,,
综上所述：四边形面积的取值范围为.