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云南省昆明市盘龙区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学模拟练习试题（原卷版+解析版）
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1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A，B，再求两个集合的交集即可
【详解】解：由，得，，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：A
2. 已知角的终边经过点P(5,12)，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义，结合终边上的点坐标求.
【详解】由正弦函数的定义知：.
故选：D
3. 等比数列中，，公比，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列通项公式求解即可.
【详解】因为数列等比，所以由得，即，解得.
故选：C.
4. 已知分别为的内角的对边，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量数量积定义和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】，
又，，解得：（舍）或.
故选：C.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可排除C，由可排除B，由可排除A.
【详解】因为，所以函数不是偶函数，排除C
因为，所以可排除B
因为，所以排除A
故选：D
6. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可绘出曲线的图像，然后结合题意和图像得出满足条件的直线的位置，最后求出过点时的值以及与圆相切时的值，即可得出结果.
【详解】曲线即圆的一半，如图：
因为曲线与直线有两个交点，直线过定点，
所以满足条件的直线即处于图中两条直线之间，
当直线过点时，，解得；
当直线与圆相切时，圆心，半径为，
结合图像易知，直线斜率存在，此时圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，能否绘出曲线图像以及根据题意找出满足条件的直线范围是解决本题的关键，考查根据直线与圆相切求参数，考查点到直线距离公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
7. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的和差公式得到，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为
，
所以，
而.
故选：C.
8. 边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据外接球的性质先找到球心位置，再由球和圆的性质用勾股定理求出半径，即可求出外接球体积.
【详解】如图所示：为三角形过中心且垂直平面的直线，
为三角形过中心且垂直平面的直线，与相交于点.
由球的性质知：四面体的外接球球心为点.
因为，为的中心，所以.
因为，所以.
又因为，所以.
故外接球的体积为.
故选：B
【点睛】本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题.
二、多选题
9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. ，为纯虚数的充要条件是
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据i的周期性可判断A，根据虚部概念判断B，根据复数乘方运算及纯虚数概念判断C，根据复数模的运算即可得到点的轨迹判断D.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：复数的虚部为2，而不是，错误；
对选项C：，则，
若为纯虚数，则，所以，错误；
对选项D：设，由可得，，
所以，平方化简得：，
所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，正确.
故选：AD
10. 如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（ ）
A. 小明可以选择的不同路径共有20种B. 小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C. 小明与小华能相遇的不同路径共有164种D. 小明、小华、小齐三人能相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：分析从A到B路径组成，结合组合数运算求解；对于B：分析小明与小齐能相遇的路径组成，结合组合数运算求解；对于C：讨论小明与小华相遇的点，根据对称性结合组合数运算求解；对于D：根据对称性结合古典概型运算求解.
【详解】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，
小明可以选择的不同路径共有种，故A正确；
对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，
小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数，
再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，
所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确；
对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，
则小明与小华相遇点为正方形过点C的对角线上的四个点，
不同路径共有种，C正确；
对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，
所以一共有400种，
则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．
故选：ACD.
11. 在中，，，，则的面积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正弦定理解三角形，可得角C有两种可能，从而求得三角形面积，即得答案.
【详解】在中，根据正弦定理，得，即，
∵，，∴或.
当时，，
∴；
当时，，
∴,
因此A，B是可能的，C，D不可能，
故选：AB
12. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，左右焦点为，，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当P点异于点A，B时，直线PA，PB的斜率积为定值
B. 当直线，的斜率存在时，，的斜率积为定值
C. 当点P是椭圆上顶点时最大
D. 当点P是椭圆上顶点时最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两点连线的斜率公式可判断AB；利用余弦定理结合基本不等式可判断C；利用正切函数的单调性及两角和的正切公式可判断D.
【详解】对于A，由题可知，，，设，则，利用两点连线的斜率公式知，故A正确；
对于B，由题可知，，设，则，利用两点连线的斜率公式知，不为定值，故B错误；
对于C，当点P在长轴上时，，当点P不在长轴上时，，
利用余弦定理知，
当，即点P为椭圆的短轴的端点时，最小，所以最大，故C正确；
对于D，当点P在长轴上时，，当点P不在长轴上时，，
如图，，，设，则，
则
由，可知要使最大，可取椭圆上顶点或下顶点，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题
13. 对于任意实数，给出下列命题： “a=b”是“ac=bc”的充要条件，“a+3是无理数”是“是无理数”的充要条件， “”是“a2>b2”的充分条件， “a<5”是“a<3”的必要条件，其中是真命题的序号是_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】逐个选项分析,对①③中的问题举出反例即可.
【详解】对①,当时不能得出,故①错误；
对②,当是无理数时,是无理数,反之亦然,故②正确；
对③,当时,,故③错误；
对④,可由a<3⇒a<5,故是的必要条件,故④正确；
故答案为②④.
【点睛】判断与充分与必要条件,只需判断与的取值范围即可,
若的集合包含于的集合,则是的充分条件；
若的集合包含于的集合,则是的必要条件.
14. 椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形的面积计算得到，再确定，计算周长即可.
【详解】，则，解得，所以，则，
故的周长为
故答案为：.
15. 已知平面向量，，若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，求出函数的一个增区间为，利用子集关系得到m的范围，进而求函数的值域即可.
【详解】由题意可得，
令，即
当时，函数的一个增区间为
又函数在上是单调递增函数，
∴∴
，，
∴
故答案为
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及到函数的单调性、函数的值域、数量积的坐标运算等知识，属于中档题.
16. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M，N，且千米，若要求观景台P与两接送点所成角与相等，记，观景台P到M，N建造的两条观光线路与之和记为y，则把y表示为的函数为y=______；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离______千米.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】利用余弦定理得到，根据正弦定理得到，，根据三角恒等变换得到函数解析式，计算得到答案.
【详解】，故，
，，，
在中，根据正弦定理：，
故，，
故，
故，
当α=π3时，最大，此时，为等边三角形，故.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.
四、解答题
17. 正方体中，E､F分别是的中点，
证明：直线AE平面
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接，，可证明四边形为平行四边形，继而得到，然后利用线面平行的判定定理即可证明
【详解】证明：连接，，在正方形中，E､F分别是的中点，
所以，且，
在正方形中，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则有，
因为平面，平面，所以平面.
18. 已知等差数列为递增数列，且，，是方程的两个根.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解方程得到，，再求.
（2）首先根据题意得到，再利用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
解方程得，，
又数列为递增数列，所以，，
由于数列为等差数列，所以则，解得，
所以，
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以
.
19. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项．
（1）求角；
（2）若的平分线交于点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到求解；
（2）由和求得b，c的关系，再结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得，
因为，
所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
又，
即，
由余弦定理得，
所以，所以．
【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
20. 某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数.
附：回归直线方程：，其中；
【答案】(1)；(2)，32.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，求出满足条件的基本事件总数，根据等可能事件的概率计算公式求解即可；(2)利用所给数据，先求出x,y的平均数，即求出本组数据的样本中心，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程并进行预报.
【详解】(1)设抽取到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数据共有10中情况：
，其中数字为12月份的日期数，
事件A包含基本事件有6种，；
(2)根据所给数据求得，
，，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，.
【点睛】本题考查线性回归方程的相关计算，古典概型概率的计算，属于基础题.
21. 已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前100项的和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.
【小问1详解】
由，得，
两式相减得，即，
又当n=1时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．
22. 在平面直角坐标系中，曲线：和函数的图像关于点对称.
（1）函数的图像和直线交于、两点，是坐标原点，求证：；
（2）求曲线的方程；
（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，联立方程化简得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由向量垂直的坐标条件可证，可得结论；
（2）设曲线：上任意一点，点P关于点对称的点，由点关于点对称的关系得出，代入可得到曲线的方程；
（3）设曲线：上任意一点，点，直线，计算点到点的距离与到直线的距离，由抛物线的定义可得证.
【详解】（1）设，由得，则，
又 ，
所以，所以；
（2）设曲线：上任意一点，点P关于点对称的点，则，代入到中得，
所以曲线的方程是；
（3）设曲线：上任意一点，则满足，
设点，直线，则
，
所以曲线：上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义得到曲线为抛物线.
【点睛】本题考查两曲线的交点坐标的关系问题，求点的轨迹方程，抛物线的定义，以及曲线与方程的交系，属于较难题.日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A，B，再求两个集合的交集即可
【详解】解：由，得，，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：A
2. 已知角的终边经过点P(5,12)，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的定义，结合终边上的点坐标求.
【详解】由正弦函数的定义知：.
故选：D
3. 等比数列中，，公比，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列通项公式求解即可.
【详解】因为数列等比，所以由得，即，解得.
故选：C.
4. 已知分别为的内角的对边，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量数量积定义和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】，
又，，解得：（舍）或.
故选：C.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可排除C，由可排除B，由可排除A.
【详解】因为，所以函数不是偶函数，排除C
因为，所以可排除B
因为，所以排除A
故选：D
6. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可绘出曲线的图像，然后结合题意和图像得出满足条件的直线的位置，最后求出过点时的值以及与圆相切时的值，即可得出结果.
【详解】曲线即圆的一半，如图：
因为曲线与直线有两个交点，直线过定点，
所以满足条件的直线即处于图中两条直线之间，
当直线过点时，，解得；
当直线与圆相切时，圆心，半径为，
结合图像易知，直线斜率存在，此时圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，能否绘出曲线图像以及根据题意找出满足条件的直线范围是解决本题的关键，考查根据直线与圆相切求参数，考查点到直线距离公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
7. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的和差公式得到，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为
，
所以，
而.
故选：C.
8. 边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据外接球的性质先找到球心位置，再由球和圆的性质用勾股定理求出半径，即可求出外接球体积.
【详解】如图所示：为三角形过中心且垂直平面的直线，
为三角形过中心且垂直平面的直线，与相交于点.
由球的性质知：四面体的外接球球心为点.
因为，为的中心，所以.
因为，所以.
又因为，所以.
故外接球的体积为.
故选：B
【点睛】本题主要考查多面体的外接球，利用外接球球心到多面体顶点的距离相等的性质找到球心是解决本题的关键，属于难题.
二、多选题
9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. ，为纯虚数的充要条件是
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据i的周期性可判断A，根据虚部概念判断B，根据复数乘方运算及纯虚数概念判断C，根据复数模的运算即可得到点的轨迹判断D.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：复数的虚部为2，而不是，错误；
对选项C：，则，
若为纯虚数，则，所以，错误；
对选项D：设，由可得，，
所以，平方化简得：，
所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，正确.
故选：AD
10. 如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（ ）
A. 小明可以选择的不同路径共有20种B. 小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C. 小明与小华能相遇的不同路径共有164种D. 小明、小华、小齐三人能相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：分析从A到B路径组成，结合组合数运算求解；对于B：分析小明与小齐能相遇的路径组成，结合组合数运算求解；对于C：讨论小明与小华相遇的点，根据对称性结合组合数运算求解；对于D：根据对称性结合古典概型运算求解.
【详解】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，
小明可以选择的不同路径共有种，故A正确；
对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，
小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数，
再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，
所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确；
对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，
则小明与小华相遇点为正方形过点C的对角线上的四个点，
不同路径共有种，C正确；
对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，
所以一共有400种，
则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．
故选：ACD.
11. 在中，，，，则的面积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正弦定理解三角形，可得角C有两种可能，从而求得三角形面积，即得答案.
【详解】在中，根据正弦定理，得，即，
∵，，∴或.
当时，，
∴；
当时，，
∴,
因此A，B是可能的，C，D不可能，
故选：AB
12. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，左右焦点为，，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当P点异于点A，B时，直线PA，PB的斜率积为定值
B. 当直线，的斜率存在时，，的斜率积为定值
C. 当点P是椭圆上顶点时最大
D. 当点P是椭圆上顶点时最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两点连线的斜率公式可判断AB；利用余弦定理结合基本不等式可判断C；利用正切函数的单调性及两角和的正切公式可判断D.
【详解】对于A，由题可知，，，设，则，利用两点连线的斜率公式知，故A正确；
对于B，由题可知，，设，则，利用两点连线的斜率公式知，不为定值，故B错误；
对于C，当点P在长轴上时，，当点P不在长轴上时，，
利用余弦定理知，
当，即点P为椭圆的短轴的端点时，最小，所以最大，故C正确；
对于D，当点P在长轴上时，，当点P不在长轴上时，，
如图，，，设，则，
则
由，可知要使最大，可取椭圆上顶点或下顶点，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题
13. 对于任意实数，给出下列命题： “a=b”是“ac=bc”的充要条件，“a+3是无理数”是“是无理数”的充要条件， “”是“a2>b2”的充分条件， “a<5”是“a<3”的必要条件，其中是真命题的序号是_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】逐个选项分析,对①③中的问题举出反例即可.
【详解】对①,当时不能得出,故①错误；
对②,当是无理数时,是无理数,反之亦然,故②正确；
对③,当时,,故③错误；
对④,可由a<3⇒a<5,故是的必要条件,故④正确；
故答案为②④.
【点睛】判断与充分与必要条件,只需判断与的取值范围即可,
若的集合包含于的集合,则是的充分条件；
若的集合包含于的集合,则是的必要条件.
14. 椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形的面积计算得到，再确定，计算周长即可.
【详解】，则，解得，所以，则，
故的周长为
故答案为：.
15. 已知平面向量，，若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，求出函数的一个增区间为，利用子集关系得到m的范围，进而求函数的值域即可.
【详解】由题意可得，
令，即
当时，函数的一个增区间为
又函数在上是单调递增函数，
∴∴
，，
∴
故答案为
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及到函数的单调性、函数的值域、数量积的坐标运算等知识，属于中档题.
16. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M，N，且千米，若要求观景台P与两接送点所成角与相等，记，观景台P到M，N建造的两条观光线路与之和记为y，则把y表示为的函数为y=______；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离______千米.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】利用余弦定理得到，根据正弦定理得到，，根据三角恒等变换得到函数解析式，计算得到答案.
【详解】，故，
，，，
在中，根据正弦定理：，
故，，
故，
故，
当α=π3时，最大，此时，为等边三角形，故.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.
四、解答题
17. 正方体中，E､F分别是的中点，
证明：直线AE平面
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接，，可证明四边形为平行四边形，继而得到，然后利用线面平行的判定定理即可证明
【详解】证明：连接，，在正方形中，E､F分别是的中点，
所以，且，
在正方形中，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则有，
因为平面，平面，所以平面.
18. 已知等差数列为递增数列，且，，是方程的两个根.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解方程得到，，再求.
（2）首先根据题意得到，再利用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
解方程得，，
又数列为递增数列，所以，，
由于数列为等差数列，所以则，解得，
所以，
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以
.
19. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项．
（1）求角；
（2）若的平分线交于点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到求解；
（2）由和求得b，c的关系，再结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得，
因为，
所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
又，
即，
由余弦定理得，
所以，所以．
【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
20. 某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数.
附：回归直线方程：，其中；
【答案】(1)；(2)，32.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，求出满足条件的基本事件总数，根据等可能事件的概率计算公式求解即可；(2)利用所给数据，先求出x,y的平均数，即求出本组数据的样本中心，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程并进行预报.
【详解】(1)设抽取到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数据共有10中情况：
，其中数字为12月份的日期数，
事件A包含基本事件有6种，；
(2)根据所给数据求得，
，，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，.
【点睛】本题考查线性回归方程的相关计算，古典概型概率的计算，属于基础题.
21. 已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前100项的和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.
【小问1详解】
由，得，
两式相减得，即，
又当n=1时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．
22. 在平面直角坐标系中，曲线：和函数的图像关于点对称.
（1）函数的图像和直线交于、两点，是坐标原点，求证：；
（2）求曲线的方程；
（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，联立方程化简得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由向量垂直的坐标条件可证，可得结论；
（2）设曲线：上任意一点，点P关于点对称的点，由点关于点对称的关系得出，代入可得到曲线的方程；
（3）设曲线：上任意一点，点，直线，计算点到点的距离与到直线的距离，由抛物线的定义可得证.
【详解】（1）设，由得，则，
又 ，
所以，所以；
（2）设曲线：上任意一点，点P关于点对称的点，则，代入到中得，
所以曲线的方程是；
（3）设曲线：上任意一点，则满足，
设点，直线，则
，
所以曲线：上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义得到曲线为抛物线.
【点睛】本题考查两曲线的交点坐标的关系问题，求点的轨迹方程，抛物线的定义，以及曲线与方程的交系，属于较难题.日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
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