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湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷 B卷（原卷版+解析版）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 若复数（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ）
A. B. C. D. i
2. 在中，点M，N满足，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（ ）
（参考数据：，，，）
A. B. C. D.
5. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A. 无解B. 有一解
C. 有两解D. 解的个数不确定
6. 设椭圆的左右两个焦点分别为，右顶点为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（ ）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过，，三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的表面积为
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心
C. 区间上单调递减
D. 在区间上有3个零点
10. 已知抛物线过点，则（ ）
A. 拋物线的标准方程可能为
B. 挞物线标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
11. 正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 三棱锥体积为定值
C. 可能直角三角形
D. 平面与平面所成的锐二面角的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为______.
13. 设函数的部分图象如图所示，且满足．则的最小正周期为______．
14. 已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________．
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足．
（1）若，求||的值；
（2）若，求的值．
16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
17. 已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求值.
18. 如图， 四棱锥的底面四边形为正方形， 顶点 在底面的射影为线段的中点 是的中点，
（1）求证：平面；
（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．
19. 后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧AB上，点和点分别在线段和线段上，且，．记．
（1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值；
（2）记，若存在最大值，求的取值范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 若复数（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ）
A. B. C. D. i
2. 在中，点M，N满足，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（ ）
（参考数据：，，，）
A. B. C. D.
5. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A. 无解B. 有一解
C. 有两解D. 解的个数不确定
6. 设椭圆的左右两个焦点分别为，右顶点为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（ ）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过，，三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的表面积为
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心
C. 区间上单调递减
D. 在区间上有3个零点
10. 已知抛物线过点，则（ ）
A. 拋物线的标准方程可能为
B. 挞物线标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
11. 正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 三棱锥体积为定值
C. 可能直角三角形
D. 平面与平面所成的锐二面角的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为______.
13. 设函数的部分图象如图所示，且满足．则的最小正周期为______．
14. 已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________．
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足．
（1）若，求||的值；
（2）若，求的值．
16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
17. 已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求值.
18. 如图， 四棱锥的底面四边形为正方形， 顶点 在底面的射影为线段的中点 是的中点，
（1）求证：平面；
（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．
19. 后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧AB上，点和点分别在线段和线段上，且，．记．
（1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值；
（2）记，若存在最大值，求的取值范围．
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