辽宁省营口市2023年数学八年级第一学期期末统考模拟试题【含解析】

这是一份辽宁省营口市2023年数学八年级第一学期期末统考模拟试题【含解析】，共23页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，如图，已知≌，若，，则的长为，给出下列数等内容，欢迎下载使用。

1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
2．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=4，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于
A．60°B．70°C．80°D．90°
4．如图，已知≌，若，，则的长为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
5．如图，将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿第三个图中的虚线剪下，将纸片展开，得到一个四边形，这个四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．今年我市工业试验区投资50760万元开发了多个项目，今后还将投资106960万元开发多个新项目，每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元，并且新增项目数量比今年多20个．假设今年每个项目平均投资是x万元，那么下列方程符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
7．图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是（ ）
A．a8．给出下列数：，其中无理数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（ ）
A．28B．18C．10D．7
10．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝4，点D是边AC上一点，且AD＝1，点E是AB边上一点，连接DE，以线段DE为直角边作等腰直角△DEF（D、E、F三点依次呈逆时针方向），当点F恰好落在BC边上时，则AE的长是_____．
12．如图，直线，，，则的度数是 ．
13．如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图2所示．
对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原”的方式，在图4①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同．
答：□相同；□不相同．（在相应的方框内打勾）
14．已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为1．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
15．若分式的值为0，则的值为________．
16．已知三角形三边长分别为、、（a＞0，b＞0），请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为____（用含a、b的代数式表示）．
17．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是 _______个．
18．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
20．（6分）先化简，再求值:，其中．
21．（6分）如图, AB=AC, AD=AE, ∠BAD=∠CAE, 求证: BE=CD．
22．（8分）阅读某同学对多项式进行因式分解的过程，并解决问题：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________（填序号）；
A．提公因式法 B．平方差公式
C．两数和的平方公式 D．两数差的平方公式
（2）该同学在第三步用所设的的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？________（填“能”或“不能”）.如果能，直接写出最后结果________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分行解.
23．（8分）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
24．（8分）如图，在中，，，点、分别为、中点，，，若，求的长．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点.
（1）求证：点P也是BC的中点.
（2）若，且，求AP的长.
（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得是等腰三角形，求的长.
26．（10分）如图，平分，且，垂足分别是，连结与交于点．
（1）求证：是线段的垂直平分线；
（2）若，求的周长和四边形的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C. 是最简二次根式，故此选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解答此题的关键．
2、B
【分析】利用角平分线性质定理可得，角平分线上的点到角两边的距离相等，通过等量代换即可得.
【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE=4，
∴BD=BC﹣CD=9﹣4=1．
故选：B．
【点睛】
掌握角平分线的性质为本题的关键.
3、C
【详解】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．
故选C．
4、B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵≌，
∴，，
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5、B
【分析】在直角三角形BAC中，先求出AB长，四边形的面积即为图中阴影部分三角形面积的4倍，求出阴影部分三角形面积即可求解．
【详解】再Rt△BAC中
∴S△ABC=
∴S四边形=4 S△ABC=16
故选：B
【点睛】
本题考查了图形的折叠问题，发挥空间想象力，能够得出S四边形=4 S△ABC是解题的关键．
6、A
【解析】试题分析：∵今后项目的数量﹣今年的数量=20，∴．故选A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7、C
【解析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可．
解答：解：∵AC==5=，BC=AB=4=，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b．
故选C．
8、B
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．
由此可得，中， 是无理数
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的基本概念，掌握无理数的性质以及判断方法是解题的关键．
9、D
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，，
故AB=11-4=7，
故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10、B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或1
【分析】分两种情况：①当∠DEF＝90°时，证明△CDF∽△BFE，得出，求出BF＝，得出CF＝BC﹣BF＝，得出BE＝，即可得出答案；
②当∠EDF＝90°时，同①得△CDF∽△BFE，得出，求出BF＝CD＝3，得出CF＝BC﹣BF＝，得出BE＝CF＝1，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
①当∠DEF＝90°时，如图1所示：
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠EFD＝∠EDF＝45°，BC＝AB＝4，DF＝EF，
∵AD＝1，
∴CD＝AC﹣AD＝3，
∵∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠B+∠BEF，
∴∠CFD＝∠BEF，
∴△CDF∽△BFE，
∴，
∴BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣＝，
∴BE＝＝，
∴AE＝AB﹣BE＝；
②当∠EDF＝90°时，如图1所示：
同①得：△CDF∽△BFE，
∴，
∴BF＝CD＝3，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝，
∴BE＝CF＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝1；
综上所述，AE的长是或1；
故答案为：或1．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
12、18°
【分析】由平行可得∠4=∠1,再根据外角定理可得∠2+∠1=∠4,即可求出∠1．
【详解】∵a∥b,
∴∠4=∠1=70°,
∵∠2=12°,
∴∠1=∠4－∠2=18°．
故答案为:18°．
【点睛】
本题考查平行的性质和外角定理,关键在于熟练掌握相关基础知识．
13、不相同．
【分析】根据轴对称图形的性质即可得结论．
【详解】如图，在图4①中的正方形网格中画出了还原后的图案， 它与图2中最后得到的图案不相同．
故答：不相同．
【点睛】
本题考查了利用轴对称设计图案、剪纸问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
14、1
【分析】根据题意类比推出，若是的因式，那么即当时，．将代入，即可求出a的值．注意题干要求a为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．
【详解】∵是的因式，
∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，
∴另一个因式为．
故答案为1；
【点睛】
本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a的取值为正数是关键．
15、1
【分析】根据分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，求解．
【详解】解：若分式的值为0
∴a-1=0且a+1≠0
解得：a=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查分式为零的条件，掌握分式值为零时，分子为零且分母不能为零是解题关键．
16、．
【分析】根据题意画出图形，再根据面积的和差即可求出答案．
【详解】如图所示，
则AB，
AC，
BC，
∴S△ABC=S矩形DEFC﹣S△ABE﹣S△ADC﹣S△BFC
=20ab
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型
17、3
【详解】设摆出的三角形的的三边有两边是x根，y根，
则第三边是12-x-y根，
根据三角形的三边关系定理得出：
所以
又因为x，y是整数，
所以同时满足以上三式的x，y的值的是;2,5;3,4;3,5;4,4;4,5;5,5.
则第三边对应的值是5,5,4,4,3,2；
因而三边的值可能是：2,5,5或者3,4,5或者4,4,4共有三种情况，
则能摆出的不同三角形的个数是3
【点睛】
本题属于对三角形三边关系的基本性质和大小的考查，需要考生对三角形三边关系熟练运用
18、
【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；
方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a,b．
【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组整理为：
解得：
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是
∴方程组的解是
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
三、解答题(共66分)
19、（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；证明见解析．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20、1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入x的值，计算即可求出值．
【详解】解：
当时，原式=
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、证明见解析
【解析】先根据角的和差求出，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
，即
在与中，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．
22、（1）C；（2）能，；（3）
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2+6x）看作整体进而分解因式即可．
【详解】解：（1）C；
（2）能，
；
（3）设
原式
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
23、 (1)2；(2)y=2x+30；(3)放入1个小球.
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．
（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm．
故答案为2；
(2)设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则，
解，得．
则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=46，
解，得x=1．
所以要放入1个小球．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
24、EG=5cm．
【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．
【详解】如图，连接AE、AG，
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB=EA，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B==30°，
∴∠BAE=30°，
∴∠AEG=60°，
同理可证：∠AGE=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG，
又∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC，
又BE+EG+GC=BC=15（cm），
∴EG=5（cm）．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键．
25、（1）证明见详解；（2）5；（3）4或或.
【分析】（1）由，得∠B=∠ECP，由点P为AE的中点，得AP=EP，根据AAS可证∆CEP≅∆BAP，进而得到结论；
（2）在Rt∆DCP中，利用勾股定理，可得CP的长，即BP的长，从而在Rt∆ABP中，利用勾股定理，即可求解；
（3）若是等腰三角形，分3种情况讨论：①当AQ=AB时，②当BQ=AB时，③当AQ=BQ时，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AQ的值即可.
【详解】（1）∵，
∴∠B=∠ECP，
∵点P为AE的中点，
∴AP=EP，
在∆CEP和∆BAP中，
∵（对顶角相等）
∴∆CEP≅∆BAP（AAS）
∴BP=CP，
∴点P也是BC的中点；
（2）∵，
∴，
∴，
∴BP=CP=3，
∴在Rt∆ABP中，
（3）若是等腰三角形，分3种情况讨论：
①当AQ=AB时，如图1，
∵AB=4，
∴AQ=4；
②当BQ=AB时，如图2，
过段B作BM⊥AE于点M，
∵在Rt∆ABP中，AB=4，BP=3，AP=5，
∴BM=，
∵在Rt∆ABM中，，
∴，
∵BQ=AB，BM⊥AE，
∴MQ=AM=，
∴AQ=2×=，
③当AQ=BQ时，
∴∠QAB=∠QBA，
∵，
∴∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°，
∴∠QPB=∠QBP，
∴BQ=PQ，
∴AQ= BQ=PQ=AP=×5=；
综上所述，AQ的长为：4或或.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，根据题意，分别画出图形，熟练运用等腰三角形的性质，是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2），
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理证明点E，点O都在线段CD的垂直平分线上，即可得到是线段的垂直平分线；
（2）先证明△OCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出周长及面积．
【详解】（1）证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE=DE，
∴点E是在线段CD的垂直平分线上．
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，
∴OC=OD，
∴点O是在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
（2）解：∵∠ECD=30°，∠OCE=90°，
∴∠OCD=60°．
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形．
∵OC=，
∴△OCD的周长为3
∵∠OCD=60°，
∴∠COE=30°，
∴OE=2CE．
设CE=x，则OE=2x．
由勾股定理，得(2x)2=x2＋()2，
解得：x=1，即CE=1，
∴四边形OCED的面积=2S△OCE=2×·OC·EC==
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定及性质，解题的关键是熟记垂直平分线的判定定理及等边三角形的性质．