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初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.1 比例线段练习
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这是一份初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.1 比例线段练习，共9页。试卷主要包含了如图，线段AB，如果a等内容，欢迎下载使用。
考点一： 线段的比
例1．一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．1:500B．500:1C．1:50D．50:1
变式1-1．在比例尺为1:100000的南京市地图上，太平北路的长度约为1.5cm，它的实际长度约为（ ）
A．1500mB．1500dmC．1500cmD．1500km
变式1-2．如图，线段AB:BC=5:12，那么AC:BC等于（ ）
A．5:7B．12:17C．7:12D．17:12
考点二：成比例线段
例2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3，d=4 B．a=2，b=3，c=4，d=5
C．a=2，b=3，c=4，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，4，6，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．8，10，12，15
考点三：比例中项
例3．如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
变式3-1．已知线段a=4，b=16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
变式3-2．已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a、b的比例中项，则c= cm．
考点四：比例的性质
例4．已知2x=3yxy≠0，则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．xy=23D．yx=32
变式4-1．已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为（ ）
A．35B．23C．32D．53
变式4-2．若xy=12，则y−xy的值是（ ）
A．－1B．−12C．12D．1
考点五：黄金分割
例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为5−12，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式5-1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为（ ）．
A．5−12米B．5−1米C．5+12米D．5+22米
变式5-2．如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5B．3−5C．−1+5D．1+5
参考答案
考点一： 线段的比
例1．一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．1:500B．500:1C．1:50D．50:1
【答案】D
【详解】解：∵10厘米=100毫米，
∴100：2=50：1，
∴这张图纸的比例尺是50：1．
故选：D．
变式1-1．在比例尺为1:100000的南京市地图上，太平北路的长度约为1.5cm，它的实际长度约为（ ）
A．1500mB．1500dmC．1500cmD．1500km
【答案】A
【详解】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1100000=1.5x，
解得：x=150000，
∵150000cm=15000dm=1500m=1.5km，
∴它的实际长度约为1500m．
故选：A．
变式1-2．如图，线段AB:BC=5:12，那么AC:BC等于（ ）
A．5:7B．12:17C．7:12D．17:12
【答案】D
【详解】解：设AB=5x，则BC=12x，AC=AB+BC=5x+12x=17x，
∴AC:BC=17x:12x=17:12，
故选：D．
考点二：成比例线段
例2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
【答案】B
【详解】A、0.3×0.9≠0.6×0.5，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
B、20×90=30×60，各组线段的长度成比例，该选项符合题意；
C、1×4≠2×3，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
D、2×5≠3×4，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意．
故选：B
变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3，d=4 B．a=2，b=3，c=4，d=5
C．a=2，b=3，c=4，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
【答案】C
【详解】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、2×5≠3×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、2×6=3×4，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、2×8≠4×6，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，4，6，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．8，10，12，15
【答案】D
【详解】
解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8≠4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵15×8=10×12，∴四条线段成比例；
故选：D．
考点三：比例中项
例3．如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【答案】C
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
∴bc=ab
∵a:b=10:15，
∴bc=ab=1015=23，
故选：C．
变式3-1．已知线段a=4，b=16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
【答案】8
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2=ab=64，
解得：c=±8，
又∵线段是正数，
∴c=8．
故答案为：8．
变式3-2．已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a、b的比例中项，则c= cm．
【答案】6
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴ c2=ab，
∵ a=4cm，b=9cm，
∴ c2=4×9=36，
∴ c=6或c=−6（舍），
故答案为：6．
考点四：比例的性质
例4．已知2x=3yxy≠0，则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．xy=23D．yx=32
【答案】A
【详解】解：A、由x3=y2得2x=3y，故此选项比例式成立，符合题意；
B、由x2=3y得xy=6，故此选项比例式不成立，不符合题意；
C、由xy=23得3x=2y，故此选项比例式不成立，不符合题意；
D、由yx=32得2y=3x，故此选项比例式不成立，不符合题意，
故选：A．
变式4-1．已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为（ ）
A．35B．23C．32D．53
【答案】B
【详解】解：∵ab=53，
∴a−bb=5−33=23，
故选：B．
变式4-2．若xy=12，则y−xy的值是（ ）
A．－1B．−12C．12D．1
【答案】C
【详解】∵xy=12，
∴y=2x，
∴y−xy=2x−x2x=x2x=12；
故选：C．
考点五：黄金分割
例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为5−12，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】解：∵8×5−12≈8×0.618=4.944，
∴选项中最接近的数是5，
故选：B．
变式5-1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为（ ）．
A．5−12米B．5−1米C．5+12米D．5+22米
【答案】B
【详解】解析：∵BE2=AE⋅AB，
设BE=x，则AE=2−x，
∵AB=2，
∴x2=22−x，
即x2+2x−4=0，
解得：x1=−1+5，x2=−1−5（舍去），
∴线段BE的长为5−1米．
故选：B．
变式5-2．如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5B．3−5C．−1+5D．1+5
【答案】B
【详解】解：∵五边形AFGBE为正五边形
∴AE=BE=2，∠AEB=∠EBG=180°×5−25=108°,BE=BG，
∴∠EAB=∠EBA=36°，∠BEG=∠BGE=180°−108°2=36°，
∴∠DEC=108°−36°−36°=36°，
∴∠BDE=180°−∠BED−∠EBD=72°
∴∠ECD=180°−∠DEC−∠BDE=72°
∴BE=BD=2,
∵点C为线段BD的黄金分割点，
设CD=x,
则BC=BD−CD=2−x
∴x2−x=2−x2
化简得，x2−6x+4=0，
∴x=3±5，
∵CD<2
∴CD=3−5
故选：B．
考点一： 线段的比
例1．一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．1:500B．500:1C．1:50D．50:1
变式1-1．在比例尺为1:100000的南京市地图上，太平北路的长度约为1.5cm，它的实际长度约为（ ）
A．1500mB．1500dmC．1500cmD．1500km
变式1-2．如图，线段AB:BC=5:12，那么AC:BC等于（ ）
A．5:7B．12:17C．7:12D．17:12
考点二：成比例线段
例2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3，d=4 B．a=2，b=3，c=4，d=5
C．a=2，b=3，c=4，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，4，6，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．8，10，12，15
考点三：比例中项
例3．如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
变式3-1．已知线段a=4，b=16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
变式3-2．已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a、b的比例中项，则c= cm．
考点四：比例的性质
例4．已知2x=3yxy≠0，则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．xy=23D．yx=32
变式4-1．已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为（ ）
A．35B．23C．32D．53
变式4-2．若xy=12，则y−xy的值是（ ）
A．－1B．−12C．12D．1
考点五：黄金分割
例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为5−12，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式5-1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为（ ）．
A．5−12米B．5−1米C．5+12米D．5+22米
变式5-2．如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5B．3−5C．−1+5D．1+5
参考答案
考点一： 线段的比
例1．一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．1:500B．500:1C．1:50D．50:1
【答案】D
【详解】解：∵10厘米=100毫米，
∴100：2=50：1，
∴这张图纸的比例尺是50：1．
故选：D．
变式1-1．在比例尺为1:100000的南京市地图上，太平北路的长度约为1.5cm，它的实际长度约为（ ）
A．1500mB．1500dmC．1500cmD．1500km
【答案】A
【详解】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1100000=1.5x，
解得：x=150000，
∵150000cm=15000dm=1500m=1.5km，
∴它的实际长度约为1500m．
故选：A．
变式1-2．如图，线段AB:BC=5:12，那么AC:BC等于（ ）
A．5:7B．12:17C．7:12D．17:12
【答案】D
【详解】解：设AB=5x，则BC=12x，AC=AB+BC=5x+12x=17x，
∴AC:BC=17x:12x=17:12，
故选：D．
考点二：成比例线段
例2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
【答案】B
【详解】A、0.3×0.9≠0.6×0.5，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
B、20×90=30×60，各组线段的长度成比例，该选项符合题意；
C、1×4≠2×3，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
D、2×5≠3×4，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意．
故选：B
变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3，d=4 B．a=2，b=3，c=4，d=5
C．a=2，b=3，c=4，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
【答案】C
【详解】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、2×5≠3×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、2×6=3×4，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、2×8≠4×6，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，4，6，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．8，10，12，15
【答案】D
【详解】
解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8≠4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵15×8=10×12，∴四条线段成比例；
故选：D．
考点三：比例中项
例3．如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【答案】C
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
∴bc=ab
∵a:b=10:15，
∴bc=ab=1015=23，
故选：C．
变式3-1．已知线段a=4，b=16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
【答案】8
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2=ab=64，
解得：c=±8，
又∵线段是正数，
∴c=8．
故答案为：8．
变式3-2．已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a、b的比例中项，则c= cm．
【答案】6
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴ c2=ab，
∵ a=4cm，b=9cm，
∴ c2=4×9=36，
∴ c=6或c=−6（舍），
故答案为：6．
考点四：比例的性质
例4．已知2x=3yxy≠0，则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．xy=23D．yx=32
【答案】A
【详解】解：A、由x3=y2得2x=3y，故此选项比例式成立，符合题意；
B、由x2=3y得xy=6，故此选项比例式不成立，不符合题意；
C、由xy=23得3x=2y，故此选项比例式不成立，不符合题意；
D、由yx=32得2y=3x，故此选项比例式不成立，不符合题意，
故选：A．
变式4-1．已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为（ ）
A．35B．23C．32D．53
【答案】B
【详解】解：∵ab=53，
∴a−bb=5−33=23，
故选：B．
变式4-2．若xy=12，则y−xy的值是（ ）
A．－1B．−12C．12D．1
【答案】C
【详解】∵xy=12，
∴y=2x，
∴y−xy=2x−x2x=x2x=12；
故选：C．
考点五：黄金分割
例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为5−12，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】解：∵8×5−12≈8×0.618=4.944，
∴选项中最接近的数是5，
故选：B．
变式5-1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为（ ）．
A．5−12米B．5−1米C．5+12米D．5+22米
【答案】B
【详解】解析：∵BE2=AE⋅AB，
设BE=x，则AE=2−x，
∵AB=2，
∴x2=22−x，
即x2+2x−4=0，
解得：x1=−1+5，x2=−1−5（舍去），
∴线段BE的长为5−1米．
故选：B．
变式5-2．如图，在正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（ ）
A．3+5B．3−5C．−1+5D．1+5
【答案】B
【详解】解：∵五边形AFGBE为正五边形
∴AE=BE=2，∠AEB=∠EBG=180°×5−25=108°,BE=BG，
∴∠EAB=∠EBA=36°，∠BEG=∠BGE=180°−108°2=36°，
∴∠DEC=108°−36°−36°=36°，
∴∠BDE=180°−∠BED−∠EBD=72°
∴∠ECD=180°−∠DEC−∠BDE=72°
∴BE=BD=2,
∵点C为线段BD的黄金分割点，
设CD=x,
则BC=BD−CD=2−x
∴x2−x=2−x2
化简得，x2−6x+4=0，
∴x=3±5，
∵CD<2
∴CD=3−5
故选：B．
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