[数学]2023～2024学年5月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷(双周练)(原题版+解析版)

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2023~2024学年5月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷（双周练）
1. 已知
，
，
，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
由
，利用同角三角函数的关系求出
，倍角公式得
，由
，利用两角差的正切公式求出
，再由
两角和正切公式求出
【详解】
.
，
，则
，
有
，
，
，得
，
.
故选：A.
2. 已知
的内角
所对的边分别是
，若
，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用正弦定理计算可得.
【详解】
由正弦定理
，
所以
则
，
，
.
故选：C
3. 在平行四边形
中， 为
的中点，
，
与
交于点 ，若
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由平面向量的线性运算将
用
、
用分别含 ， 的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出 ， 即可求
得．
【详解】
因为 在
设
上， 为
的中点，
，

因为
因为
，
，
三点共线，所以
不共线，
，
、
所以
所以
，解得
，
．
故选：B．
4. 在△ABC中，若
，则B＝（
）
A.
B.
D.
C.
或
或
答案
解析
A
因为
，由正弦定理得
，所以
因为
，所以
因为
，所以
，而B为三角形内角，故
．
因此正确答案为：A．
5. 已知m，n是两条不同直线，
，
，
是三个不同平面，则下列说法正确的是（
）
A.
C.
，
，则
，则
B.
D.
，
，则
，则
，
，
答案
解析
C
【分析】
根据线线关系、线面关系、面面关系可得答案.
【详解】
对于A，
对于B，
对于C，
对于D，
故选：C.
，
，
，则
，则
，则
，则
，或
，或
，或
与
相交，故A错误；
，故B错误；
，
，故C正确；
，或 ，故D错误.
，
6.
在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则
最大角的余弦值为
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
先由已知条件结合
得到
，进而根据
与
不共线可求得
的关系，从而得最
大角，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
因为
所以
且
，
即
，

因为
所以
与
不共线，所以
，
，
，
所以角C所对的c边最大，故角C是最大，对应的余弦值为
.
故选：C.
7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､
唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青
铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎
底 在同一平面内的两个测量基点 与 ，现测得
，在 点测得九龙鼎顶端 的仰角为
）（参考数据：取
，在 点测
得九龙鼎顶端 的仰角为
，则九龙鼎的高度
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
设
，通过题意可得
中，由余弦定理可得
，通过题意知：
.
，
在
，
得：
，得：
因此正确答案为：B.
8. 如图，在三棱柱ABC-A B C 中，底面ABC是等边三角形，AA ⊥底面ABC，且AB=2， AA =1，则直线BC 与平面ABB A 所成角
1 1 1 1 1
1
1
1
的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
先作出直线BC 与平面ABB A 所成角，再根据直角三角形求结果.
1 1
1
【详解】
取A B 中点M，连C M,BM,
1
1
1
因为在三棱柱ABC-A B C 中，底面ABC是等边三角形，所以底面A B C 是等边三角形，
1
1
1
1 1 1
从而C M⊥A B ,因为AA ⊥底面ABC，所以AA ⊥底面A B C ，即AA ⊥C M，从而C M⊥平面ABB A ，因此
1
为直线BC 与平面ABB A
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
所成角,因为
,选C.

【点睛】
本题考查线面角，考查基本分析求解能力，属基础题.
9. 在
A. 若
B. 若
中，设角
，则
所对的边分别为
，则下列命题一定成立的是（
）
是锐角三角形
，
，
，则
有唯一解
C.
若
是锐角三角形，
，
，设
的面积为S，则
D. 若
是锐角三角形，则
答案
解析
BCD
【分析】
由余弦定理可判断
由正弦定理可判断
；
；
利用边化角结合面积公式可得
由锐角三角形可得
，求
，利用
的范围，结合正弦函数的性质可得 的范围，即可判断 ；
及
在
上的单调性结合诱导公式可判断 .
【详解】
，
，
，
为锐角，但不能确定角
是否为锐角，
故
不一定是锐角三角形，故 错误；
由正弦定理得
，
，
，
有唯一解，故 正确；
，
，
，
，
又
，解得
，
，
，
，
，
，即
，故 正确；
是锐角三角形，
，
又
又
，
，
，
在
.
上单调递增，
，
，
，故 正确；
故选：
10. 若向量
满足
，则（
）

A.
B.
C.
D.
答案
解析
ABD
通过题意得
因为
，得
，所以
，故D无误．
，所以
不垂直于
，故A无误；由
，故C有误；
，得
，故B无误；
因此正确答案为：ABD.
11. 如图所示，在棱长为
的正方体
中，P，Q分别为线段
，
上的动点 不含端点 ，则下列说法正
确的是（
）
A. 存在点P，Q，使得
C. 存在点P，Q，使得
B. 直线
D.
和直线
异面
平面
周长的最小值为
答案
解析
BD
【分析】
A选项，在
取点 ，使
，证明
，
和
互为异面直线，可得
不成立；B选项，由异面直线的判定可
证明；C选项，由线面平行的性质，若
平面
，则
，不合题意；D选项，将三棱锥
展开成平面图形，
利用
共线求最小值.
【详解】
A选项，在
取点 ，使
，
又正方体中有
，则四边形
，又正方形
，则四边形
为平行四边形，
有
故
且
且
中
且
，
，
是平行四边形，有
平面
和 不可能平行，
平面
，
，
，
所以
和
互为异面直线，则
故不存在点P，Q，使得
，A选项错误；
B选项，在
上取
，与A选项同理可得
上方， 点在平面
，
由图可知， 点在平面
下方，
上， 则
则直线
则直线
与平面
平面
和直线
相交，交点 在线段
，
，
平面
，
，
异面，B选项正确；

C选项，若
平面
平面
平面
，由
平面
，则
，
，
此时点 与点 重合，不合题意，C选项错误；
D选项，
将三棱锥
展开成平面图形如图，
连接
分别交
和
于
，此时
周长最短，即为
，
，
，
则由余弦定理得
，
即
周长的最小值为
，D选项正确.
故选：BD.
12. 在
为
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若
．
，
，
，则
的面积
答案
解析
3
【分析】
利用余弦定理，结合已知求出 ，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】
在
中，由余弦定理，得
，则
，

于是
，解得
，
所以
的面积为
.
故答案为：3
13. 如图，在边长为2的等边
.
中，点 为中线
的三等分点（靠近点 ），点 为
的中点，则
答案
解析
1
在边长为2的等边
中，
为中线，则
，
.
因此正确答案为：1
14. 如图，在棱长为2的正方体
中，点
分别是棱
的中点， 是侧面正方形
．
内一点
（含边界），若
平面
，则线段
长度的取值范围是
答案
解析
，
如下图所示：
取
的中点G，连接FG，BG，FB，
在正方体
又因为
所以
中，易得
平面BFG，
平面BFG，
平面BFG，同理证得
，
平面BFG，
又因为
所以平面AEC//平面BFG，
因为 是侧面
内一点（含边界），且
平面
，
所以点P在线段BG上运动，
如下图所示：

在等腰
所以
中，作
，且
，
，
，
设点F到线段BG的距离为d，
由等面积法得
解得
，
所以线段
长度的取值范围是
，
，
因此正确答案为：
，
15. 已知向量
（1）求
的坐标以及
与
之间的夹角；
垂直？
（2）当 为何值时，
与
（3）当
时，求
的取值范围．
答案
解析
（1）
，
；（2）
，则
；（3）
；设
（1）因为
与 之间的夹角为 则
，因为
故
（2）
因为
与
垂直，所以
，则
得
（3）由
因为
所以
，所以
16. 如图，在平面四边形
中，点 与点 分别在
的两侧，对角线
与
交于点 ，
(1)
的内角
的对边分别为
的面积
，
，
，求
和 的
值;
(2)若
，且
，
，求对角线
的最大值和此时 的值.
答案
解析
(1)
【分析】
，
(2)
，最大值
（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出
的值，结合
，从而得到 的值；
，利用余弦定理结合三角函数看可求出的长的最大值及其对应的的值.
的取值范围可求得
的值，
过点C作CH垂直BD于点H，根据
，得
（2）在
中，得
求
【详解】

（1）在
中，由余弦定理得
又
，
，
两式作商有
，所以
如图，过点C作CH垂直BD于点H，
则
，则
，
，
，故
（2）在
中，
，
，
所以
又
，
，所以
在
中，
在
即
中，由余弦定理得
，
，
即
当
，
，
，即
时，AC取得最大值
17. 如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，
，M为
上一点，且
(1)求证：
(2)若
平面
为正三角形，
，求异面直线
与
所成角的大小;
平面 ，求实数 的值.
(3)点E为
中点，点F在线段
上，且 ，若
答案
解析
(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】
（1）连接
交
于点 ，连接
,得到异面直线
平面
，利用相似比证明
与 所成的角为
，由线面平行的判定定理证明即可;
，然后利用余弦定理求解即可;
，再根据相似三角形求解即可.
（2）先证明
（3） 先证明平面
【详解】
，再由线面平行的性质定理得到
（1）连接
交
于点N，连接
，
设
又
及
，可知
，所以在
，
，
，所以
平面
中有
又
，而
平面
，
，所以
平面
（2）取
的中点O，连接
，

根据
，
，且
与
，O为
的中点，可知
为平行四边形，
所以
，
则异面直线
因为
所成的角即为
（或其补角），
为边长是4的等边三角形，
故
，又
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的大小是
，
（3）取
中点G，连
因为E是
所以
中点， G为
，又
中点，
平面
，
平面
，
所以
平面
平面
，
又因为
且
，
，
，
平面
，
所以平面
平面BDM，
又
平面EFG，所以
平面
又
平面
，且平面
平面
，
所以
，所以
，所以
由题可知
即
18. 在
中，角
所对的边分别为
.
(1)求 的大小；
(2)若
，点 满足
，求
的面积.
答案
(1)
(2)
解析
（1）因为
所以
，
，
又
，所以
，
结合
，解得
，
因为
，所以
．
（2）因为
由
，所以
．
，可得
，
则
即
，
，解得
．
所以
的面积为
．

19. 如图，在直角梯形
与点 重合，且
中，
为
的中点，将
沿着
翻折，使
.
(1)证明：
平面
.
(2)作出二面角
的平面角，并求其大小.
答案
解析
(1)证明见解析(2)平面角见解析，
（1）
，且
，故四边形
，故 平面
中点，连接
为平行四边形，故
，
平面
，且
平面
.
（2）如下图所示： 是
，
，
，
则
，
，故
，
即
，故
，
平面
故
平面
为二面角
，
平面
的平面角，
，
平面
，
，
，故
.
故二面角
的平面角为
.