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    [数学]2023~2024学年3月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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    2023~2024学年3月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷
    1. 己知向量

    不共线,向量
    B.


    ,则 的值为(

    A. 1
    C. ±1
    D. 2
    答案
    解析
    C
    解:因为向量 , 不共线,且
    ,所以
    ,即


    所以
    ,解得

    .
    因此正确答案为:C
    2. 已知两个单位向量

    的夹角为 ,则“
    ”是“
    ”的
    A. 充分必要条件
    B. 必要不充分条件
    C. 充分不必要条件
    D. 既不充分也不必要条件
    答案
    解析
    A
    充分性:若
    必要性:若

    ,则由 、 是单位向量可知
    ,即充分性得证;


    由 、 是单位向量可知

    因为
    ,所以
    ”是“
    ,必要性得证,
    所以“
    ”的充分必要条件.
    故选: .
    3. 在平行四边形
    中, 为
    B. 2
    的重心,
    ,则


    A.
    C.
    D. 1
    答案
    解析
    C
    如下图所示,设

    相交于点 , 为
    的重心,
    可得 为
    的中点,
    ,
    可得
    ,
    因此正确答案为:C
    4. 已知
    ,满足条件的 的一个值为(

    A.
    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    D
    【分析】
    根据切化弦,把正切转化成正弦与余弦,然后利用辅助角公式和二倍角公式,即可求解.
    【详解】





    因此

    .

    则满足条件的 的一个值为
    故选:D.
    .
    5. 已知平面向量 , , 均为单位向量,且
    A. B.
    ,则


    C.
    D.
    答案
    解析
    A
    平面向量 , , 均为单位向量,所以
    ,又
    所以
    ,平方得
    ,则
    .
    因此正确答案为:A.
    6. 设


    ,则有(

    A.
    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    C
    【分析】
    利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简,再根据正弦函数的性质判断即可.
    【详解】



    因为

    上单调递增,
    ,故
    所以
    .
    故选:C.
    7. 已知
    ,则


    A. 3
    B.
    C.
    D. 2
    答案
    解析
    A
    【分析】
    利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得
    【详解】
    ,然后利用诱导公式求解即可.
    因为

    ,所以
    ,所以


    ,所以
    ,所以
    所以
    ,故
    .
    故选:A
    8. 已知 为钝角,且
    ,则


    A.
    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    D
    【分析】
    先求出
    ,再利用三角函数恒等变形进行弦化切即可求解.
    【详解】

    ,得
    ,即
    ,解得

    .

    因为 为钝角,所以
    .

    .
    故选:D.
    9. 下列说法错误的有(

    A. 若
    B. 若
    C.
    ,则

    共线,则一定有
    使得
    是平行四边形

    ,则四边形
    D. 若

    ,则 =
    答案
    解析
    ABD
    【分析】
    根据平面向量共线概念,定理,垂直的判定依次判断选项即可得到答案.
    【详解】
    对选项A,若
    对选项B,若
    对选项C,若
    , 与 不一定共线,满足
    ,满足 ,则不存在
    ,则
    ,故A错误.
    ,使得

    ,故B错误.

    ,则四边形
    是平行四边形,
    故C正确.
    对选项D,因为

    ,则
    ,则
    垂直,不能判定 = .
    故D错误.
    故选:ABD.
    10. 在
    中,
    分别是边
    中点,下列说法正确的是(

    A.
    B.
    C.

    ,则


    的投影向量
    D.

    重合),且
    若点 是线段
    上的动点(不与
    ,则
    的最大值为
    答案
    解析
    BCD
    【分析】
    利用平面向量的加减法可判断AB;根据已知
    ,由 得

    的平分线,即
    ,再利用平面向量的投影定义可判断C;设
    ,再由配方法可得答案.
    【详解】
    对于A,
    对于B,
    ,故A错误;
    ,故B正确;
    的单位向量,
    对于C,
    分别表示




    由平面向量的加法可知,

    的平分线表示的向量,
    ,所以

    的平分线,又

    的中线,所以



    的投影向量

    所以


    的投影向量,故C正确;

    对于D,如图所示,因为点 是线段
    上的动点,即
    ,又 ,所以
    三点共线,



    因为
    ,则



    故当
    时, 的最大值为 ,故D正确.
    故选:BCD.
    【点睛】
    关键点点睛:数形结合为解决本题的关键点,本题主要考查平面向量的加法,减法的几何意义.
    11. 由倍角公式
    ,可知
    可以表示为
    的二次多项式.一般地,存在一个 (
    ),使得 ,这些多项式
    (P.L.Tschebyscheff)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得(
    )次多项式

    称为切比雪夫

    A.
    C.
    B.
    D.
    答案
    解析
    BC
    【分析】
    通过求
    ,来判断出正确选项.
    【详解】

    所以
    所以
    ,A错误.

    ,B正确.
    .
    所以
    由于
    由于

    ,所以
    ,所以


    所以由
    所以
    解得

    ,C正确.
    ,所以D错误.
    故选:BC
    【点睛】
    三角函数化简求值问题,关键是根据题意,利用三角恒等变换的公式进行化简.
    12. 已知

    ,且
    ,则 在 上的投影向量为
    .

    答案
    解析
    【分析】
    利用投影向量的概念,结合数量积公式求解即可.
    【详解】
    因为
    ,所以
    ,设 的夹角为 ,
    ,即

    又因为
    所以
    , 在 上的投影为:

    所以 在 上的投影向量为
    故答案为:
    .
    .
    13. 已知
    ,则
    的值等于

    答案
    解析
    【分析】
    先根据α,β的范围,求出cs(α+β)和sinβ的值,再利用α=α+β﹣β的关系,利用正弦两角差公式得出答案.
    【详解】
    由0<α

    <β<π,得 <α+β<


    ∴cs(α+β)<0,sinβ>0
    ∴cs(α+β)
    sinβ

    ∴sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)csβ﹣cs(α+β)sinβ=(
    )(
    )﹣(
    )•

    故答案为
    【点睛】
    本题主要考查了正弦函数的两角差公式及同角基本关系式,关键是能熟练掌握公式,并灵活运用.
    14. 如图1是1992年第七届国际数学教育大会(
    ,则
    )的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图2),其中

    .
    答案
    ;
    解析
    由题设结合勾股定理知:

    ,同理




    所以




    .
    因此正确答案为:

    .
    15. 已知


    .
    (1)求 的值;

    (2)求向量

    夹角的余弦值.
    答案
    (1)
    (2)
    解析
    【分析】
    (1)由
    ,可求 的值;
    , ,再由向量数量积求夹角的余弦值.
    (2)利用向量数量积求出
    【详解】
    (1)


    ,得
    ,所以
    .
    (2)因为


    所以

    .
    令向量


    的夹角为θ,


    即向量
    夹角的余弦值是
    .
    16. 如图在平行四边形
    中,


    ,E为
    的中点,H为线段
    上靠近点E的四等分点,记

    .
    (1)用

    表示


    (2)求线段
    的长.
    答案
    解析
    (1)

    ;(2) .
    (1)由已知得


    所以


    (2)由(1)得

    所以

    所以线段
    的长为
    .
    17. 已知

    ,且
    .
    (1)求
    (2)求
    的值;
    的值.
    答案
    解析
    (1) (2)
    【分析】
    (1)化成关于
    的齐次式即可求解;
    (2)根据平方关系、商数关系以及角的范围可得
    【详解】
    ,由两角和的正切公式以及角的范围即可得解.
    (1)因为
    所以

    .
    (2)因为
    又因为
    ,所以
    ,所以




    所以


    ,所以由
    ,解得

    所以
    所以
    ,又

    ,故

    .
    18. 已知函数

    ,若

    的最小值为
    (1)求
    (2)若
    在区间
    上的值域;
    ,求

    的值.
    答案
    解析
    (1)
    (2)
    (1)通过题意知:

    因为
    所以

    的最小值为 ,
    ,所以 ,
    ,又
    所以
    因为
    .
    ,所以

    所以

    所以
    在 区间
    上的值域为
    .
    (2)因为
    因为

    ,所以

    ,所以


    ,所以
    ,则

    所以
    .


    ,则

    所以
    .
    19. 如图有一块半径为4,圆心角为 的扇形铁皮
    上.
    , 是圆弧
    上一点(不包括 , ),点
    , 分别半径

    (1)若四边形
    (2)若
    为矩形,求其面积最大值;

    均为直角三角形,求它们面积之和的取值范围.
    答案
    解析
    (1)8;(2)
    .
    【分析】
    (1)连接OP,令
    ,用 表示出矩形
    的面积,再借助三角函数计算作答.
    (2)利用(1)中信息,用 表示出
    (1)

    的面积和,再换元变形结合二次函数性质计算作答.
    连接OP,如下图所示,令


    因四边形
    于是得矩形
    则当
    为矩形,则
    的面积

    ,而

    ,即
    时,
    取最大值1,即有

    所以矩形
    (2)
    面积最大值为8.
    由(1)知,
    ,则



    的面积和:


    ,即
    ,而
    ,则




    ,显然

    上单调递减,

    ,即
    时,
    ,而
    的面积和的取值范围是:
    ,因此,
    .
    所以

    【点睛】
    思路点睛:涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题,若点的运动与某角的变化相关,可以设此角为自变量,借助三角
    函数解决.

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