[数学]2023~2024学年3月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷(原题版+解析版)
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2023~2024学年3月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷
1. 己知向量
,
不共线,向量
B.
,
且
,则 的值为(
)
A. 1
C. ±1
D. 2
答案
解析
C
解:因为向量 , 不共线,且
,所以
,即
,
,
所以
,解得
或
.
因此正确答案为:C
2. 已知两个单位向量
与
的夹角为 ,则“
”是“
”的
A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
解析
A
充分性:若
必要性:若
则
,则由 、 是单位向量可知
,即充分性得证;
,
,
由 、 是单位向量可知
,
因为
,所以
”是“
,必要性得证,
所以“
”的充分必要条件.
故选: .
3. 在平行四边形
中, 为
B. 2
的重心,
,则
(
)
A.
C.
D. 1
答案
解析
C
如下图所示,设
与
相交于点 , 为
的重心,
可得 为
的中点,
,
可得
,
因此正确答案为:C
4. 已知
,满足条件的 的一个值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
根据切化弦,把正切转化成正弦与余弦,然后利用辅助角公式和二倍角公式,即可求解.
【详解】
由
得
故
,
,
因此
或
.
则满足条件的 的一个值为
故选:D.
.
5. 已知平面向量 , , 均为单位向量,且
A. B.
,则
(
)
C.
D.
答案
解析
A
平面向量 , , 均为单位向量,所以
,又
所以
,平方得
,则
.
因此正确答案为:A.
6. 设
,
,
,则有(
)
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简,再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】
,
,
,
因为
在
上单调递增,
,故
所以
.
故选:C.
7. 已知
,则
(
)
A. 3
B.
C.
D. 2
答案
解析
A
【分析】
利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得
【详解】
,然后利用诱导公式求解即可.
因为
又
,所以
,所以
,
,
,所以
,所以
所以
,故
.
故选:A
8. 已知 为钝角,且
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
先求出
,再利用三角函数恒等变形进行弦化切即可求解.
【详解】
由
,得
,即
,解得
或
.
因为 为钝角,所以
.
故
.
故选:D.
9. 下列说法错误的有(
)
A. 若
B. 若
C.
,则
与
共线,则一定有
使得
是平行四边形
若
,则四边形
D. 若
且
,则 =
答案
解析
ABD
【分析】
根据平面向量共线概念,定理,垂直的判定依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A,若
对选项B,若
对选项C,若
, 与 不一定共线,满足
,满足 ,则不存在
,则
,故A错误.
,使得
,
,故B错误.
,
,则四边形
是平行四边形,
故C正确.
对选项D,因为
且
,则
,则
垂直,不能判定 = .
故D错误.
故选:ABD.
10. 在
中,
分别是边
中点,下列说法正确的是(
)
A.
B.
C.
若
,则
是
在
的投影向量
D.
、
重合),且
若点 是线段
上的动点(不与
,则
的最大值为
答案
解析
BCD
【分析】
利用平面向量的加减法可判断AB;根据已知
,由 得
为
的平分线,即
,再利用平面向量的投影定义可判断C;设
,再由配方法可得答案.
【详解】
对于A,
对于B,
,故A错误;
,故B正确;
的单位向量,
对于C,
分别表示
,
,
,
,
由平面向量的加法可知,
为
的平分线表示的向量,
,所以
为
的平分线,又
为
的中线,所以
,
则
在
的投影向量
,
所以
是
在
的投影向量,故C正确;
对于D,如图所示,因为点 是线段
上的动点,即
,又 ,所以
三点共线,
设
,
,
因为
,则
,
令
,
故当
时, 的最大值为 ,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】
关键点点睛:数形结合为解决本题的关键点,本题主要考查平面向量的加法,减法的几何意义.
11. 由倍角公式
,可知
可以表示为
的二次多项式.一般地,存在一个 (
),使得 ,这些多项式
(P.L.Tschebyscheff)多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得(
)次多项式
(
称为切比雪夫
)
A.
C.
B.
D.
答案
解析
BC
【分析】
通过求
,来判断出正确选项.
【详解】
,
所以
所以
,A错误.
,
,B正确.
.
所以
由于
由于
,
,所以
,所以
,
,
所以由
所以
解得
,
,C正确.
,所以D错误.
故选:BC
【点睛】
三角函数化简求值问题,关键是根据题意,利用三角恒等变换的公式进行化简.
12. 已知
,
,且
,则 在 上的投影向量为
.
答案
解析
【分析】
利用投影向量的概念,结合数量积公式求解即可.
【详解】
因为
,所以
,设 的夹角为 ,
,即
,
又因为
所以
, 在 上的投影为:
,
所以 在 上的投影向量为
故答案为:
.
.
13. 已知
,则
的值等于
.
答案
解析
【分析】
先根据α,β的范围,求出cs(α+β)和sinβ的值,再利用α=α+β﹣β的关系,利用正弦两角差公式得出答案.
【详解】
由0<α
,
<β<π,得 <α+β<
.
<
∴cs(α+β)<0,sinβ>0
∴cs(α+β)
sinβ
.
∴sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)csβ﹣cs(α+β)sinβ=(
)(
)﹣(
)•
.
故答案为
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的两角差公式及同角基本关系式,关键是能熟练掌握公式,并灵活运用.
14. 如图1是1992年第七届国际数学教育大会(
,则
)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图2),其中
,
.
答案
;
解析
由题设结合勾股定理知:
,
,同理
,
,
,
,
所以
;
,
,
,
.
因此正确答案为:
,
.
15. 已知
,
,
.
(1)求 的值;
(2)求向量
与
夹角的余弦值.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
(1)由
,可求 的值;
, ,再由向量数量积求夹角的余弦值.
(2)利用向量数量积求出
【详解】
(1)
,
由
,得
,所以
.
(2)因为
,
,
所以
,
.
令向量
与
与
的夹角为θ,
则
,
即向量
夹角的余弦值是
.
16. 如图在平行四边形
中,
,
,
,E为
的中点,H为线段
上靠近点E的四等分点,记
,
.
(1)用
,
表示
,
;
(2)求线段
的长.
答案
解析
(1)
,
;(2) .
(1)由已知得
,
,
所以
,
;
(2)由(1)得
,
所以
,
所以线段
的长为
.
17. 已知
,
,且
.
(1)求
(2)求
的值;
的值.
答案
解析
(1) (2)
【分析】
(1)化成关于
的齐次式即可求解;
(2)根据平方关系、商数关系以及角的范围可得
【详解】
,由两角和的正切公式以及角的范围即可得解.
(1)因为
所以
,
.
(2)因为
又因为
,所以
,所以
,
,
,
所以
又
,
,所以由
,解得
,
所以
所以
,又
,
,故
,
.
18. 已知函数
,
,若
,
的最小值为
(1)求
(2)若
在区间
上的值域;
,求
,
的值.
答案
解析
(1)
(2)
(1)通过题意知:
,
因为
所以
,
的最小值为 ,
,所以 ,
,又
所以
因为
.
,所以
,
所以
,
所以
在 区间
上的值域为
.
(2)因为
因为
,
,所以
,
,所以
,
又
,所以
,则
,
所以
.
令
且
,则
,
所以
.
19. 如图有一块半径为4,圆心角为 的扇形铁皮
上.
, 是圆弧
上一点(不包括 , ),点
, 分别半径
,
(1)若四边形
(2)若
为矩形,求其面积最大值;
和
均为直角三角形,求它们面积之和的取值范围.
答案
解析
(1)8;(2)
.
【分析】
(1)连接OP,令
,用 表示出矩形
的面积,再借助三角函数计算作答.
(2)利用(1)中信息,用 表示出
(1)
和
的面积和,再换元变形结合二次函数性质计算作答.
连接OP,如下图所示,令
,
因四边形
于是得矩形
则当
为矩形,则
的面积
,
,而
,
,即
时,
取最大值1,即有
,
所以矩形
(2)
面积最大值为8.
由(1)知,
,则
,
,
和
的面积和:
,
令
,即
,而
,则
,
,
则
当
,显然
在
上单调递减,
,
,即
时,
,而
的面积和的取值范围是:
,因此,
.
所以
和
【点睛】
思路点睛:涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题,若点的运动与某角的变化相关,可以设此角为自变量,借助三角
函数解决.
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