新高考数学二轮复习 小题综合练专题04 排列组合与二项式定理（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（ ）种不同的取法.
A．10B．4C．16D．20
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果.
【详解】1次取完：2黑，共1种取法；
2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取法；
3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后一次2个黑球，共 SKIPIF 1 < 0 .
4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后一次2个黑球，共 SKIPIF 1 < 0 ；根据分类计数原理知，共10种，
故选：A.
2．（2023·校考模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40B．24C．20D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有 SKIPIF 1 < 0 种，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．84B．56C．36D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再利用组合数性质计算作答.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．15D．16
【答案】D
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 计算可得.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从 SKIPIF 1 < 0 这5种菜中任意选用2种，则 SKIPIF 1 < 0 菜有2人选用、 SKIPIF 1 < 0 菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54B．81C．135D．162
【答案】C
【分析】先选出选择 SKIPIF 1 < 0 菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 菜有2人选用有 SKIPIF 1 < 0 种，比如甲、乙选用了 SKIPIF 1 < 0 菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有 SKIPIF 1 < 0 种，比如甲用了B菜，则乙从 SKIPIF 1 < 0 中任意选用1种，有 SKIPIF 1 < 0 种，丙从C，D，E中任意选用2种，有 SKIPIF 1 < 0 种，故共有 SKIPIF 1 < 0
②丙选用了B菜，丙再从 SKIPIF 1 < 0 中任意选用1种，有 SKIPIF 1 < 0 种，甲、乙再从 SKIPIF 1 < 0 中各任
意选用1种，有 SKIPIF 1 < 0 种，故共有 SKIPIF 1 < 0
由①②可知所有情形是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．120B．210C．211D．216
【答案】D
【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即可求解．
【详解】由题意分三种情况：
第一种情况是3人各站一个台阶，有 SKIPIF 1 < 0 种；
第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有 SKIPIF 1 < 0 种，
第三种情况是3人站一个台阶，有 SKIPIF 1 < 0 种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 SKIPIF 1 < 0 种．
故选：D．
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（ ）种不同的可能情况.
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】分冠军为甲乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三名；冠军为戊，丁为第四名，四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可.
【详解】解：由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，
当冠军为甲乙两人中的一人时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名一定两人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊两个人就只能是第四(三)和第五名了，此时共有 SKIPIF 1 < 0 种情况；
当冠军为戊，丁为第二名时，将甲乙捆绑在一起，内部排列共 SKIPIF 1 < 0 种，此时甲，乙，丙三个人的只能是第三、四、五名了，共有 SKIPIF 1 < 0 种，所以此时共有 SKIPIF 1 < 0 种情况；
当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲乙，所以此时共有 SKIPIF 1 < 0 种情况；
当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲乙，所以此时共有 SKIPIF 1 < 0 种情况；
所以共有 SKIPIF 1 < 0 种.
故选：B.
8．（2023·浙江·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则含 SKIPIF 1 < 0 项系数的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二项式定理通项公式分别写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项和含 SKIPIF 1 < 0 的项，再由含 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 列式得 SKIPIF 1 < 0 的关系式，表示出含 SKIPIF 1 < 0 项系数并将其转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程式，根据二次函数的性质求解最小值即可.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项系数为
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，
最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以含 SKIPIF 1 < 0 项系数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二项式定理可得 SKIPIF 1 < 0 展开式通项，分别令 SKIPIF 1 < 0 即可确定 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式通项为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先构造二项式 SKIPIF 1 < 0 ，再根据两边求导，再变形后求导，赋值后即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导得，
SKIPIF 1 < 0 ，两边乘以 SKIPIF 1 < 0 后得，
SKIPIF 1 < 0 ，两边求导得，
SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、填空题
11．（2023·浙江·校联考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为4，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】1
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为:1.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，常数项为 ______ ．
【答案】41
【分析】将问题转化成 SKIPIF 1 < 0 的常数项及含 SKIPIF 1 < 0 的项，利用二项展开式的通项公式求出第 SKIPIF 1 < 0 项，令 SKIPIF 1 < 0 的指数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求出常数项及含 SKIPIF 1 < 0 的项，进而相加可得答案．
【详解】先求 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项以及含 SKIPIF 1 < 0 的项；
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）多项式 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为______（用数字作答）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据组合数的方法求解即可.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 中，含 SKIPIF 1 < 0 项的为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2023·浙江·校联考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为___________（用数字作答）.
【答案】14
【分析】根据二项式定理求出含 SKIPIF 1 < 0 的项，即可得其系数.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为14.
故答案为：14
15．（2023·浙江·校联考二模） SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为__________.
【答案】9
【分析】利用二项展开式的通项，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数，即可得出答案.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，可得展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，可得展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：9．
16．（2023·浙江·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是______.
【答案】20
【分析】直接用二项式定理讨论即可.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 中取x时，这一项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 中取y时，这一项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
17．（2023·浙江温州·统考三模） SKIPIF 1 < 0 展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式的常数项是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________.
【答案】8
【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求出结果.
【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 SKIPIF 1 < 0 个.

故答案为：8.
19．（2023·浙江金华·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是___________.（用数字作答）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项，再分别令 SKIPIF 1 < 0 的指数等于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，x的系数为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别列出 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项，由此确定结论.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含x的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，x的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为120，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解出即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·浙江金华·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 除以100的余数是__________．
【答案】1
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用二项定理将其展开，即可求得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 是100的倍数，
故 SKIPIF 1 < 0 除以100的余数等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1
23．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 时，
展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由于要求展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，展开式的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数的最大值为__________.
【答案】54
【分析】分别求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项，可求出含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 求导，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，则含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为： SKIPIF 1 < 0 ；
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：54.
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先令 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后对等式 SKIPIF 1 < 0 两边同时求导，并赋值 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
等式两边同时求导，得到 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0