第一章　§1.5　基本不等式的综合应用-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§1.5　基本不等式的综合应用
1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
例1　(1)已知x>0，y>0，且 ＝1，若2x＋y题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题
若2x＋y9或m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
由题意可得a≤f(x)min，
a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1　(1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为A.{m|－22}C.{m|m>－2} D.{m|m≤－2}
因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，即mx因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，
又k>0，解得0例2　第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格.
题型二　基本不等式的实际应用
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元).所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
因为15－0.1x>0，所以0当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号.所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2　第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元.
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入 (x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时，
∴a≥10.2.∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0，
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
一、单项选择题1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.4
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为A.4π B.8π C.12π D.16π
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为
由题知，圆心(1,2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2，
4.(2023·杭州模拟)已知2a＝3,3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
由题可知，a＝lg23，b＝lg34，易知a，b∈(1，＋∞).
所以c＝lgabb>c.
5.已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是A.(－∞，25] B.(－∞，25)C.(－∞，24] D.[24，＋∞)
由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，
故实数t的取值范围是(－∞，25].
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以f(x)为减函数，因为f(2a)＋f(b－2)＝2，所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
二、多项选择题7.已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是A.ex＋ey的最小值为2e2B.lg x＋lg y的最大值为lg 4C.x2＋y2的最小值为8D.x(y＋4)的最大值为16
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确；x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确；由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误.
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则A.2e≤a＋b设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.
三、填空题9.若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________.
由两直线平行可得ab＝2，因为a，b均为正数，
当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立.故a＋2b的最小值为4.
10.(2024·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式 >m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为___________.
所以实数m的取值范围为(－∞，9).
函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0，
又a>b，所以a－b>0，
12.已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(aa>0，Δ＝b2－4ac＝0，所以b>a>0，b2＝4ac.
四、解答题13.设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2.(1)求a，b的值；
由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0.
(2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)由(1)知f(x)＝4x－2x，所以f(x)2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，使得m>2x＋3·2－x－1成立.则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min，设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，令t＝2x，则t∈(0,8]，
14.受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发.某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为 万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？
调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450，又因为x∈N*，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50.
(2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入.求实数m的取值范围.