第二章　§2.10　函数的图象-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.10　函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.利用描点法作函数图象的步骤：　　　、　　　、　　　.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换
lgax(a>0，且a≠1)
1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换.2. 函数图象自身的对称关系
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x).
3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数.(　　)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)
当x→＋∞时，f(x)→0，A，B错误.
3.函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为A.0 B.1 C.2 　D.3
由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点.
4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象.
例1　作出下列各函数的图象：
再向上平移2个单位长度得到，如图所示.
(2)y＝|x2－4x－5|；
y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.
函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.
跟踪训练1　作出下列各函数的图象：(1)y＝x2－2|x|－3；
(2)y＝|lg2(x＋1)|.
y＝|lg2(x＋1)|，其图象可由y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示.
题型二　函数图象的识别
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是
对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；
识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.
当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1,2)和(0,0)两点.
f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确.
题型三　函数图象的应用
命题点1　利用图象研究函数的性质例3　(多选)(2023·聊城模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2D.函数f(x)有且仅有两个零点
由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象，将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln|x||＝|ln|－x||的图象，将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝|ln|－(x－2)||＝|ln|2－x||的图象，则函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示.
由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，故A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确.
命题点2　利用图象解不等式例4　(2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为
根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
命题点3　利用图象求参数的取值范围例5　(2023·保定联考)已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是A.(0,1) B.(0,2]C.(2，＋∞) D.(1，＋∞)
要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则f(x)＝a有三个不相等的实根，即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，当x≤－1时，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0,1)；当－10时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示.由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1).
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4
把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.
先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，
(3)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是__________.
因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，所以当x∈(2,4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，当x∈(4,6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，函数部分图象如图所示，由4(x－4)(6－x)＝3，得4x2－40x＋99＝0，
因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，
一、单项选择题1.(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为A.y＝2(x－2)2＋6 B.y＝2x2＋6C.y＝2x2 D.y＝2(x－2)2
函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象，再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象.
方法二　令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)
＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，排除B，D；
3.(2023·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是
A选项，设f(x)＝(x＋2)sin 2x，
则f(x)<0，不符合图象，排除A；
且2所以0<(x＋2)sin x<π＋2.
令f(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，不符合图象，排除D.
4.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是A.1－f(x) B.－f(2－x)C.f(－x)－1 D.1－f(－x)
由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2，将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y＝f(－x)的图象，再向下平移1个单位长度，可得y＝f(－x)－1的图象，所以题图2所表示的函数是y＝f(－x)－1.
5.已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是A.(－1,1) B.(0,1)C.(－1,0) D.∅
不等式f(x)>0⇔lg2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示，由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1).
6.(2024·天津模拟)定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是
|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)当m<0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)A.a<0B.b<0C.c>0D.abc<0
当x＝－c时，函数f(x)无意义，由图知－c<0，所以c>0，C正确；
又因为b<0，所以a>0，A错误；综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确.
8.(2023·南京模拟)若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法错误的是A.函数f(x)为奇函数B.函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增C.f(x)min＝－4D.函数f(x)在(－∞，1)上单调递减
由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x<1时，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，则f(x)＝f(2－x)＝x2－4，
所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减，f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确.
三、填空题9.把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________________.
把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象.
y＝2(x＋1)2＋3
11.已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调递增区间是___________.
因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2].
12.(2023·赤峰模拟)若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值是－1，最大值是3，则n－m的最大值为________.
当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，当x<0时，令x(－x－2)＝－1，
(1)作出函数f(x)的图象；
当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)，作出函数f(x)的图象，如图所示.
(2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况.
由f(x)－m＝0可得m＝f(x)，则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数，如图所示.当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根；当014.(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R).(1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值；
因为函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)，
又a∈Z，所以a的最大值为4.
(2)当a＝3时，求函数f(x)的零点；
当a＝3时，f(x)＝2x－3x＋1，由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，如图所示.由图可知y＝2x与y＝3x－1的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点，又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0，故函数f(x)的零点为1,3.
(3)若对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围.
因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立，即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方，作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1的大致图象，如图所示.则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，即a的取值范围为[0,3].
15.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是A.函数y＝f(x)是奇函数B.对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C.函数y＝f(x)的值域为D.函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；
因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确.