第三章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的　　　，相应的切线方程为　　　.
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ；
f′(x)±g′(x)
[cf(x)]′＝ .
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(4)(e－x)′＝－e－x.(　　)
2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .
∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
例1　(1)(多选)下列求导正确的是
对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝xsin x－cs x，则f′(x)＝sin x－xcs x＋sin xB.设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
对于选项A，f′(x)＝sin x＋xcs x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；
题型二　导数的几何意义
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是
设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)，
又切线方程为y＝kx＋1，
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为 ，O为坐标原点，
依题意得，切线斜率kOA＝ ，化简，得 ＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
跟踪训练2　(1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0 B.4x－y－4＝0C.2x＋y－2＝0 D.4x＋y－4＝0
当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
∴－a≥2，即a≤－2.
题型三　两曲线的公切线
例4　(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为A.2 B.5 C.1 D.0
根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是
对于y＝ax2有y′＝2ax，
令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，
则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝ ，
当x∈ 时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈　　　 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.
跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .
f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，
设公共切点的坐标为(x0，y0)，
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex，则直线l的斜率k＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋(1－m)em－1，
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条.
一、单项选择题1.若函数f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于A.2 B.1 C.0 D.－1
因为f(x)＝exsin 2x，则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cs 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cs 0)＝2.
2.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是A.2f′(3)即2f′(3)3.(2023·榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b等于A.－2 B.－1 C.0 D.1
又函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.
4.(2023·成都川大附中模拟)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为
过点P作曲线y＝ln x－x2的切线，当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小.设切点为P(x0，y0)(x0>0)，
5.直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为
由y＝ex＋1，可得y′＝ex；由y＝ex＋1，可得y′＝ex＋1，
设两个切点分别为(x1， ＋1)和(x2， )，直线l的斜率k＝ ，故x1＝x2＋1，即x1≠x2，
6.若函数f(x)＝ ＋ln(x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是A.a≤1 B.a<0 C.a≥1 D.a≤0
因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线，所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1.
二、多项选择题7.对于函数f(x)＝ln x－1，则下列判断正确的是
对于A，设切点为(m，ln m－1)，
对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x⇒ey＋1＝x，故与f(x)关于y＝x对称的函数为y＝ex＋1，故B错误；对于C，若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则点(a，b)在f(x)上方，如图所示，即b>f(a)，即b>ln a－1，故C正确；对于D，由于∀x>0，
令g′(x)>0⇒x>1，令g′(x)<0⇒08.(2023·唐山质检)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在 上是凸函数的是A.f(x)＝sin x－cs xB.f(x)＝ln x－3xC.f(x)＝－x3＋3x－1D.f(x)＝xe－x
对于A，f′(x)＝cs x＋sin x，
对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
∵y＝2sin x－2cs x，∴y′＝2cs x＋2sin x，
∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
10.(2023·本溪模拟)请写出与曲线y＝sin x在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数 .
y＝x3＋x(答案不唯一)
∵y＝sin x的导函数为y′＝cs x，又y＝sin x过原点，∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线斜率k＝cs 0＝1，∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x.所求曲线只需满足过点(0,0)且在x＝0处的导数值y′＝1即可，如y＝x3＋x，∵y′＝3x2＋1，∴y＝x3＋x在原点处的切线斜率为1，又y＝x3＋x过原点，∴y＝x3＋x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x.
11.(2023·南京模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ax2和y＝ln x均相切，则a＝ .
设直线y＝x＋m与y＝ln x相切于点(x0，ln x0)，
解得x0＝1，m＝－1.因为直线y＝x－1与曲线y＝ax2相切，
12.已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1>k2)是曲线y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝ .
由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x，
又切线过点(0,0)，
同理，当x<0时，曲线为y＝ax＋2ln(－x)，
四、解答题13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.(1)求f′(e)及f(e)的值；
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程.
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14.设函数f(x)＝ax－ ，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
15.已知函数f(x)＝ln x＋x的零点为x0，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，切点为P(m，n)，则 等于
解得m＝e，则P(e，e＋1)，由ln x0＋x0＝0，可得x0＝－ln x0，
16.(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 的取值范围是 .
所以点A(x1,1－ )和点B(x2， －1)，kAM＝，kBN＝ ，所以 ＝－1，x1＋x2＝0，所以AM：y－1＋所以|AM|＝