第三章　§3.2　导数与函数的单调性-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§3.2　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的　　　　；第2步，求出导数f′(x)的　　　；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)单调递增B.在区间(2,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
在区间(3,5)上，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C正确，D错误；在区间(2,3)上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减，B正确.
3.(选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为_______________________.
4.已知f(x)＝2x2－ax＋ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
故只需4x2－ax＋1≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
题型一　不含参函数的单调性
例1　(1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2).
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝xsin x＋cs x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为
由题意f(x)＝xsin x＋cs x，x∈[0,2π]，则f′(x)＝xcs x，
题型二　含参数的函数的单调性
例2　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性.
g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，①若a>ln 2，则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增；③若a0，当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减.
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；当a(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝2x.
(2)求函数f(x)的单调区间.
函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
令f′(x)＝0，解得x＝a＋1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
②当a＋1<－1，即a<－2时，令f′(x)<0，则x∈(－∞，a＋1)∪(－1，＋∞)，令f′(x)>0，则x∈(a＋1，－1)，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；③当a＋1>－1，即a>－2时，令f′(x)<0，则x∈(－∞，－1)∪(a＋1，＋∞)，
令f′(x)>0，则x∈(－1，a＋1)，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1).综上所述，当a＝－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a<－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a＋1，－1)；
当a>－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a＋1).
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式例3　(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，因为0故f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为0f(x2)，即 ，故 ，
常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcs x，
故D中函数不是“F函数”.
(2)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为___________.
令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数，f(2x－3)＋f(x)>2变形为f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)，
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x在R上单调递增，所以2x－3>－x，解得x>1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞).
命题点2　根据函数的单调性求参数
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立.(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集.
跟踪训练3　(1)(2024·郑州模拟)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)·f′(x)>0的解集为A.(1,6) 　B.(1,4)C.(－∞，1)∪(6，＋∞) 　D.(1,4)∪(6，＋∞)
由图象可得，当x<4时，f′(x)>0，当x>4时，f′(x)<0.结合图象可得，当10，f(x)>0，即f(x)·f′(x)>0；当x>6时，f′(x)<0，f(x)<0，即f(x)·f′(x)>0，所以f(x)·f′(x)>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞).
(2)已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
故f′(x)在(1，＋∞)上有零点，
由x>1，得z′(x)>0，z(x)在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).
一、单项选择题1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是A.(－∞，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，＋∞)
由已知得，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞).
2.已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是
根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当00，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合.
3.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，
故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.
4.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
5.(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)当x≥0时，f′(x)＝ex＋cs x，因为ex≥1，cs x∈[－1,1]，所以f′(x)＝ex＋cs x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a
设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，则f′(x)＝ex－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴a>c，故b>a>c.
二、多项选择题7.(2023·临汾模拟)若函数f(x)＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是A.1 B.2 C.3 D.4
令f′(x)>0，得x>3，令f′(x)<0，得0解得1A.a>b B.b>aC.c>b D.c>a
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
三、填空题9.函数f(x)＝e－xcs x(x∈(0，π))的单调递增区间为________.
10.若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为__________________________.
由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1，函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点，即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点，
11.(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式 >0的解集为__________________.
(－3，－1)∪(0,1)
依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f′(x)<0；f(x)在区间(－1,1)上单调递增，f′(x)>0.
12.已知函数f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________.
若函数f(x)在[1,2]上单调，
四、解答题13.(2024·毕节模拟)已知函数f(x)＝(a－x)ln x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
∴f′(1)＝a－1，∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1).
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
令g(x)＝－xln x－x＋a，则g′(x)＝－ln x－2，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
14.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋1.(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范围；
f(x)≤x＋c等价于ln x－x≤c－1.令h(x)＝ln x－x，x>0，
当00，所以h(x)在(0,1)上单调递增；当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减.故h(x)max＝h(1)＝－1，
所以c－1≥－1，即c≥0，所以c的取值范围是[0，＋∞).
令m(x)＝x－a－xln x＋xln a，则m′(x)＝ln a－ln x，当x>a时，ln x>ln a，所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，当0所以m′(x)>0，m(x)在(0，a)上单调递增，因此有m(x)0且x≠a上恒成立，所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减.
即x1f(x1)则只需2a≤h(x)min，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得016.已知偶函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，当x＞0时， ＞－f′(x)，且f(2)＝1，则不等式(x2－x)f(x2－x)＞2的解集为A.(－∞，－2)∪(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－1,2)
令g(x)＝xf(x)，由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x).
所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.