第四章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　旋转所成的图形.(2)分类
按旋转方向不同分为　　　、　　　、　　　.按终边位置不同分为　　　　和轴线角.
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转　　　的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　　　.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　　　　　　　　.
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.
3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cs α， ＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝ ，cs α＝ ，tan α＝ (x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　)(4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角.(　　)
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cs θ等于
4.(必修第一册P176T11改编)某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度.
某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π.
例1　(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确.
A.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第三象限 D.第四象限
(2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为__________________________________________.
{α|k·360°＋30°≤α终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
跟踪训练1　(1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A.90°－α B.90°＋αC.360°－α D.180°＋α
若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角.
(2)终边在直线y＝ 上，且在[－2π，2π)内的角α构成的集合为_____________________.
题型二　弧度制及其应用
若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积.
(2)已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________.
设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4，l＝4－2r,0∴当r＝1时，S取得最大值1，
应用弧度制解决问题时应注意(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
跟踪训练2　(1)(多选)(2023·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2
设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
题型三　三角函数的概念
(2)sin 2·cs 3·tan 4的值A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在
所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cs 3·tan 4<0.
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
(2)(2023·济宁统考)若cs α·tan α<0，则角α的终边在A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、四象限
因为cs α·tan α<0，所以cs α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限.
一、单项选择题1.给出下列四个命题，其中正确的是
C中，－400°＝－360°－40°，则－400°是第四象限角，故C错误；D中，－315°＝－360°＋45°，则－315°是第一象限角，故D正确.
2.(2023·咸阳模拟)若坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cs 5)，则点P位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
所以角x的终边在第四象限，
4.(2023·衡阳模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？则下列说法正确的是
设点B的横坐标为x，则
6.在平面直角坐标系中 圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确.
三、填空题9.若α＝1 560°，角θ与角α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.
因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为k·360°＋120°，k∈Z，令k＝－1，得θ＝－240°；令k＝0，得θ＝120°.
10.已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________ cm2.
设扇形半径为r cm，弧长为l cm，
当r＝2时，扇形面积最大，所以Smax＝4(cm2).
11.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值范围为____________________________________________.
180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
12.(2024·兰山模拟)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则 ＝_____.
在Rt△POB中，PB＝rtan α，
四、解答题13.若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0).(1)求sin θ＋cs θ的值；
因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号.
综上，当a>0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；当a<0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为正.
14.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度).(1)求θ关于x的函数关系式；
由题意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值.
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比
令t＝17＋x，则t∈(17,27)，
故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
15.(多选)(2023·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是
由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cs x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；
16.(2023·沈阳模拟)石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个底面直径为60 cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100 cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为______ cm.