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第四章 §4.5 三角函数的图象与性质-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.5 三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在 上的性质.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ， ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
______________
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
2.与三角函数的奇偶性相关的结论
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cs x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点.( )
(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期.( )(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.( )
由题意得f(x)＝－cs x，
对于C，f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误.
题型一 三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域.
(2)函数f(x)＝cs 2x＋ 的最大值为A.4 B.5 C.6 D.7
＝cs 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x
又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cs x)，则下列说法正确的是
f(x)＝sin x(sin x－cs x)＝sin2x－sin xcs x
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式.
跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是
A中，y＝cs|2x|＝cs 2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cs x|的最小正周期为π；
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cs2x－sin2x，则
依题意可知f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x.
若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间.
命题点2 根据单调性求参数
(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
(2)若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是
A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增
A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c
因为y＝cs x在[0，π]上单调递减，
5.(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cs 2x，则下列结论错误的是
因为f(－x)＝sin|－x|－cs(－2x)＝sin|x|－cs 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；
又因为ω∈N*，所以ω＝3，
又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2，
二、多项选择题7.(2024·株洲模拟)下列关于函数f(x)＝cs x＋asin x(a≠0)的说法正确的是A.存在a，使f(x)是偶函数B.存在a，使f(x)是奇函数C.存在a，使f(x＋π)＝f(x)
函数f(x)＝cs x＋asin x
当a＝0时，f(x)＝cs x为偶函数，故A正确；
所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z，因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，
方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示.
10.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝____________________.
－cs 4x(答案不唯一)
则f(x)＝－cs 4x满足题意，
(1)求函数f(x)的最小正周期；
所以函数f(x)的最小正周期为3π.
所以－3≤f(x)≤0，
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.
函数f(x)的周期是2π，故A错误；f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误；
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.5 三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在 上的性质.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ， ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
______________
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
2.与三角函数的奇偶性相关的结论
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cs x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点.( )
(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期.( )(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.( )
由题意得f(x)＝－cs x，
对于C，f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误.
题型一 三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域.
(2)函数f(x)＝cs 2x＋ 的最大值为A.4 B.5 C.6 D.7
＝cs 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x
又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cs x)，则下列说法正确的是
f(x)＝sin x(sin x－cs x)＝sin2x－sin xcs x
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式.
跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是
A中，y＝cs|2x|＝cs 2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cs x|的最小正周期为π；
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命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cs2x－sin2x，则
依题意可知f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x.
若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间.
命题点2 根据单调性求参数
(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
(2)若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是
A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增
A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c
因为y＝cs x在[0，π]上单调递减，
5.(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cs 2x，则下列结论错误的是
因为f(－x)＝sin|－x|－cs(－2x)＝sin|x|－cs 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；
又因为ω∈N*，所以ω＝3，
又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2，
二、多项选择题7.(2024·株洲模拟)下列关于函数f(x)＝cs x＋asin x(a≠0)的说法正确的是A.存在a，使f(x)是偶函数B.存在a，使f(x)是奇函数C.存在a，使f(x＋π)＝f(x)
函数f(x)＝cs x＋asin x
当a＝0时，f(x)＝cs x为偶函数，故A正确；
所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z，因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，
方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示.
10.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝____________________.
－cs 4x(答案不唯一)
则f(x)＝－cs 4x满足题意，
(1)求函数f(x)的最小正周期；
所以函数f(x)的最小正周期为3π.
所以－3≤f(x)≤0，
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.
函数f(x)的周期是2π，故A错误；f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误；
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