第六章　§6.4　数列中的构造问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§6.4　数列中的构造问题
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a)例1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝___________.
题型一　an＋1＝pan＋f(n)型
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2　若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，求数列{an}的通项公式.
设an＋1＋λ(n＋1)＋u＝2(an＋λn＋u)，所以an＋1＝2an＋λn＋u－λ，
又a1－3－3＝－5≠0，
所以数列{an－3n－3}是以－5为首项，2为公比的等比数列，所以an－3n－3＝－5·2n－1，所以an＝－5·2n－1＋3n＋3.
命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为A.an＝(2n＋1)·3n B.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3n D.an＝(n＋1)·2n
跟踪训练1　(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有A.若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2nB.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an} 的通项公式为an＝2n＋1－3
D.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为 an＝2n－n＋1
∵2(n＋1)an－nan＋1＝0，
由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)，
又a1＋3＝1＋3＝4，于是数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故B正确；
设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，所以an＋1＝2an＋kn＋b－k，
由an＋1＝2an＋n－1，
即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
例4　已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
题型二　相邻两项的差为特殊数列(an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b)
∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝－(－2)n＋3n.
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
因为3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，an≠0，
题型三　倒数为特殊数列
2.在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝ ，则an等于A.2n－1　　　　B.3n－1　　　　C.　　　　D.
lg3an＋1＝2lg3an，则数列{lg3an}是以lg3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则lg3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝　 .
3.已知数列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为
2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，显然an≠0，
因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2).因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列，所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)，
所以S2 023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012，S2 024＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013，
二、多项选择题5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，则下列说法正确的有
由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，则a2＝3S1＋2＝3a1＋2，
因为an＋1＝3Sn＋2，①所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2，②①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an，
故数列{an}不是等比数列，故C错误；
当n≥2时，an＋1＝4an，则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，
由an＋1＝3Sn＋2，得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，所以Sn＋1＝4Sn＋2，令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)，
则Sn＋1＝4Sn＋3λ，
公比为4的等比数列，故D正确.
6.已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是
因为an－3an＋1＝2anan＋1，
所以{an}为递减数列，故C错误；
三、填空题7.已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝____________.
8.(2023·阜阳统考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝________.
方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n).又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，
方法二　∵an＋1＋an＝3×2n，∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29，
四、解答题9.已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*).(1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列；
由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7，∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1，
∴{an－n}是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1＋n.
当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，
∴4an＋2＋an＝4an＋1，
(3)求数列{an}的通项公式.