第六章　§6.6　数列中的综合问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§6.6　数列中的综合问题
数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.
例1　已知公差不为0的等差数列{an}满足a2＝6，a1，a3，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
题型一　等差数列、等比数列的综合运算
根据题意，设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由于a2＝6，a1，a3，a7成等比数列，
(2)设bn＝n· ，求数列{bn}的前n项和Sn.
由bn＝n·22n＝n·4n，则Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②
数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
跟踪训练1　(2024·无锡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中项，S5＝25.(1)求{an}的通项公式；
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20.
bn＋1＋bn＋2＝(n＋1)2，②②－①得，bn＋2－bn＝2n＋1，∵b1＝－1，∴b2＝2.∴b20＝b20－b18＋b18－b16＋…＋b4－b2＋b2＝37＋33＋29＋…＋5＋2
题型二　数列与其他知识的交汇问题
命题点1　数列与不等式的交汇例2　(1)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋ ，b2＝1＋ ，b3＝1＋ ，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…).则A.b1方法一　当n取奇数时，
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；
同理可得b4同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；因为b4b8，所以b4逐一判断选项可知选D.
所以2nan＝2n－1an－1＋1，而21a1＝3，所以数列{2nan}是首项为3，公差为1的等差数列，
所以λ≥2，即实数λ的最小值是2.
所以当n＝1时，b2>b1；当n≥2时，bn＋1命题点2　数列与函数的交汇例3　已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 012>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 022)＋f(a2 023)的值A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负
因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0; 当x<0时，f(x)<0.因为数列{an}是等差数列，a1 012>0，故f(a1 012)>0.再根据a1＋a2 023＝2a1 012>0，所以a1>－a2 023，
则f(a1)>f(－a2 023)＝－f(a2 023)，所以f(a1)＋f(a2 023)>0.同理可得f(a2)＋f(a2 022)>0，f(a3)＋f(a2 021)>0，…，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 022)＋f(a2 023)＝[f(a1)＋f(a2 023)]＋[f(a2)＋f(a2 022)]＋…＋[f(a1 011)＋f(a1 013)]＋f(a1 012)>0.
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.
跟踪训练2　(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方
形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为
设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1sin 15°＋an＋1cs 15°，
则数列{xn}是等差数列，公差为4，且f(xn)＝－2，n∈N*，因此A＝2，函数f(x)的最小正周期是4，
一、单项选择题1.(2023·广州模拟)已知f(x)＝2x2，数列{an}满足a1＝2，且对一切n∈N*，有an＋1＝f(an)，则A.{an}是等差数列B.{an}是等比数列C.{lg2an}是等比数列D.{lg2an＋1}是等比数列
所以lg2an＋1＝1＋2lg2an，所以lg2an＋1＋1＝2(lg2an＋1)，n∈N*，所以{lg2an＋1}是等比数列，又lg2a1＋1＝2，所以lg2an＋1＝2n，所以lg2an＝2n－1，故A，B，C错误，D正确.
2.(2024·铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为A.76　　　B.77　　　C.78　　　D.80
记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{an}，则an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，
3.(2023·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5，1设等比数列{an}的公比为q，
4.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是A.5　　　B.7　　　C.10　　　D.12
令an＝1，得n＝7，故该塔形几何体中正方体的个数为7.
而要满足an>an＋1，故{an}要单调递减，
当n≤7时，an＝an－6，而要满足an>an＋1，故{an}要单调递减，所以06.已知{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d≠0，{bn}是等比数列，若a1＝b1，a1 012＝b1 012，Sn和Tn分别是{an}和{bn}的前n项和，则A.S2 023>T2 023B.S2 023因为{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d≠0，
且a1 012＝a1＋1 011d≠a1，则b1 012≠b1，设等比数列{bn}的公比为q，
且q1 011≠1，即q>0且q≠1，
又因为b1>0，所以等比数列{bn}为正项单调数列，
所以T2 023＝b1＋b2＋…＋b2 023>2 023b1 012＝2 023a1 012＝S2 023.
二、多项选择题7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝ln( －an)(n∈N*)，则Sn的取值可能是
因为an＋1＝ln( －an)，所以 ＝ －an，即an＝ － ，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ － ＝e－ .因为a1＝1，所以an>0，所以Sn>1.因为 >an＋1，所以 －an>1，所以an＋1>0，所以Sn8.(2023·德州模拟)将n2个数排成n行n列的数阵，如图所示，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11＝3，a13＝a51＋1，记这n2个数的和为S，下面叙述正确的是A.m＝2B.a78＝15×28C.aij＝(2i＋1)·2j－1D.S＝n(n＋2)(2n－1)
由题意，a13＝a11·m2＝3m2，a51＝a11＋4m＝3＋4m，由a13＝a51＋1，得3m2＝3＋4m＋1，整理可得(3m＋2)(m－2)＝0，由m>0，解得m＝2，故A正确；a71＝a11＋6×2＝15，a78＝a71·27＝15×27≠15×28，故B错误；ai1＝a11＋(i－1)×2＝2i＋1，aij＝ai1·2j－1＝(2i＋1)·2j－1，故C正确；
三、填空题9.(2023·德州模拟)如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知A1，A2，A3，…为直角顶点，设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，OA1，OA2，…，OAn构成数列{an}，令bn＝ ，Sn为数列{bn}的前n项和，则S80＝______.
因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，
10.已知数列{an}为等比数列，a2a3a4＝64，a6＝32，数列{bn}满足bn＝lg2an＋1，若不等式4λ≥bn[1－(n＋4)λ]对于任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为___________.
所以an＝2n－1，bn＝lg2an＋1＝n，则原不等式等价于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，
四、解答题11.(2022·新高考全国Ⅱ)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；
设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1；由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.
由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
又当n＝1时，S1＝a1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1＋n－1，当n＝1时也成立，因此an－an－1＝1，则{an}是首项为a1，公差为1的等差数列.
(2)用max{p，q}表示p，q中的最大值，若a1＝1，bn＝max ，求数列{anbn}的前n项和Tn.
因为a1＝1，且{an}的公差为1，所以an＝n，
①当n≥4时，Tn＝1×21＋2×22＋3×32＋4×24＋…＋n·2n＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋3，令Fn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，则2Fn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，