第七章　§7.6　空间向量的概念与运算-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第七章§7.6　空间向量的概念与运算课标要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.空间向量的有关概念大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .|a||b|cos〈a，b〉(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　　)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　　)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)√×√×√3.(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝ ，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定√以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以MN∥平面BB1C1C.4.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝______.10∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.返回第二部分探究核心题型例1　(1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5题型一　空间向量的线性运算√因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，√用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.跟踪训练1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝ －2a，则x等于A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)√由b＝ －2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.例2　(1)下列命题正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc题型二　空间向量基本定理及其应用√若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误.(2)(多选)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较√由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.√由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，由等体积法得 ＝ ，例3　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；题型三　空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，(3)求证：AA1⊥BD.所以AA1⊥BD.空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.√∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，0则夹角的余弦值为0.例4　如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.(1)求证：B1E⊥AD1；题型四　向量法证明平行、垂直(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.存在满足要求的点P.假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.跟踪训练4　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝ ，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；在△ABC中，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，返回课时精练一、单项选择题1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于A.－6　　　B.6　　　C.－4　　　D.4√若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，3.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是12345678910111213141516√12345678910111213141516同理可排除C，D；4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝ ，AC＝1，BD＝2，则CD的长为12345678910111213141516√123456789101112131415165.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D12345678910111213141516√在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；12345678910111213141516如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，12345678910111213141516设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，1234567891011121314151612345678910111213141516所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误.6.已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体.已知当点F满足 (0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为√12345678910111213141516由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，12345678910111213141516设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，二、多项选择题7.下列关于空间向量的命题中，正确的有A.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c12345678910111213141516D.若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的 一个基底√√√对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；1234567891011121314151612345678910111213141516可得A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z), 使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D正确.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是A.C1D∥平面EFG12345678910111213141516D.A1C⊥平面EFG√√建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB1的中点，G是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，1234567891011121314151612345678910111213141516令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，∴C1D∥平面EFG，故A选项正确；12345678910111213141516三、填空题9.已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝_____________.12345678910111213141516因为向量a＝(1,1,0)，12345678910111213141516(－5，－2，6)12345678910111213141516设C(x，y，z)，故点C的坐标为(－5，－2,6).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE，1234567891011121314151612345678910111213141516由于S，M，N，O四点共面，四、解答题13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)PD⊥平面AHF.建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0).∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.1234567891011121314151612345678910111213141516(1)若O为AC的中点，求证：A1O⊥AO；因为O为AC的中点，12345678910111213141516所以A1O⊥AO.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值.12345678910111213141516连接A1D，A1B，连接BD，由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点，所以A1O⊥BD，由(1)可知A1O⊥AO，AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O，所以A1O⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，1234567891011121314151612345678910111213141516设平面D1AE的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝3，则z＝7，y＝1.所以n＝(3,1,7)为平面D1AE的一个法向量，因为点P在平面ABCD内，故设点P的坐标为(m，n，0)，又FP∥平面D1AE，1234567891011121314151615.(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN，则下列命题正确的是A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.线段BN长度的最大值为D.三棱锥C1－A1D1M的体积不变√√√12345678910111213141516在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，1234567891011121314151612345678910111213141516即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误；对于D，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，所以三棱锥C1－A1D1M的体积为定值，故D正确.1234567891011121314151612345678910111213141516如图，建立空间直角坐标系，则C(0,2,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，设E(x,2，z)，x∈[0,2]，z∈[0,2]，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0,2]，z∈[0,2]，则动点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心，1为半径的半圆，1234567891011121314151612345678910111213141516将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2,0)，M(0,1)，N(0,2)，返回