第八章　§8.6　双曲线-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
A.－15C.k<－1 D.k≠－1或5
若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________.
4.(选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线 ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝______.
根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
例1　(1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是A.一个点 B.直线C.椭圆 D.双曲线
分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，
此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为_______.
不妨设点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当01时，轨迹为双曲线.①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
所以|PF1|＝|PF2|＋4，
题型二　双曲线的标准方程
椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，
因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
跟踪训练2　(1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上.
依题意作图，如图所示，
∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆，∴F1P⊥PF2，
根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
命题点1　渐近线例3　(1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1， )，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是____________.
题型三　双曲线的几何性质
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
如图所示，双曲线C的左焦点F1(－c,0)，|DF1|＝b，由勾股定理得|OD|＝a，
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，即2x－y＝0，
e2＝________.
因为直线l过点(0，b)和双曲线E的右焦点F(c,0)，
整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，即c4－3a2c2＋a4＝0，
∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
3.若双曲线 －y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径，因此PF1⊥PF2，
联立解得c＝3，即2c＝6.
5.(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为
如图，设△ABC的边AC，AB，BC与内切圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
设点B位于第一象限，如图所示，
又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，
所以OA⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，
二、多项选择题7.(2023·江门模拟)已知曲线C：x2sin α＋y2cs α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是A.若曲线C表示两条平行线，则α＝0
若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cs α＝0，且0≤α<π.若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意，
此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错；若曲线C表示双曲线，则sin αcs α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对.
如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.
|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
10.双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为_______________________.
依题意，2c＝10，∴c＝5，
解得b2＝5，a2＝20，
解得b2＝20，a2＝5，
11.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为___________.
易知a＝1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
因为F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，
又因为|F2A|＝|F1F2|，
整理得2c2－4ac＋a2＝0，即2e2－4e＋1＝0，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离.
14.已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－ ＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.(1)求双曲线C的方程；
在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
15.(2023·咸阳模拟)双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N.若点P(－3a,0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为______.
即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，
16.(2023·安庆模拟)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为__________.
如图所示，由双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MN，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，