第八章　必刷小题15　直线与圆-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
必刷小题15　直线与圆
一、单项选择题1.(2023·蚌埠模拟)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解得a＝1或a＝2.故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件.
2.直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是A.相离　　　B.相交　　　C.相切　　　D.不确定
直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，
因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交.
3.直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则A.a<0，b<0 B.a<0，b>0C.a>0，b<0 D.a>0，b>0
因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，
4.(2023·黄冈模拟)已知点M(1， )在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为A.30° B.60°C.120° D.150°
当l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不合题意；
故l的倾斜角为150°.
5.(2024·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为
因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，所以a＋b＝1，又a>0，b>0，
6.(2023·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为
将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0，
所以直线过定点Q(3,4)，因为P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1，
则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋|OQ|＝1＋5＝6.
7.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是
方法一　令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，
方法二　x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cs θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π]，
方法三　由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
8.(2023·新高考全国Ⅰ)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于
如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，
所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π，
二、多项选择题9.已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是
因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，
10.(2024·深圳模拟)动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则下列说法正确的是A.两个圆心所在的直线斜率为B.两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0C.两圆公切线有两条D.|PQ|的最小值为0
圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.
所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确.
11.(2023·武汉统考)已知直线l：x－y＋1＝0与圆Ck：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列说法正确的是A.所有圆Ck均不经过点(0,3)B.若圆Ck关于直线l对称，则k＝－2C.若直线l与圆Ck相交于A，B两点，且|AB|＝ ，则k＝－1D.不存在圆Ck与x轴、y轴均相切
对于A，将(0,3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，所以不存在k值，使圆Ck经过点(0,3)，A对；对于B，若圆Ck关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上，所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B对；
对于D，若圆Ck与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆Ck，D对.
12.已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋( －1)y＋ －3m＝0，则下列结论正确的是A.直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种B.圆C的圆心到直线l距离的最大值为C.点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2D.点P可能在圆x2＋y2＝1上
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B错误；
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确.
三、填空题13.若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为_______.
由题设得m＋3＝0，即m＝－3，所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，
14.过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为______________.
由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0，即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0，又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行，
解得λ＝7，所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，即2x＋y－5＝0.
15.在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝kx＋1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为___________.
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1，设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件，则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于2，
16.(2023·大理模拟)设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为______.
由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，又l1⊥l2，∴P点轨迹是以MN为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，
∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，