第十章　§10.7　概率与统计的综合问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§10.7　概率与统计的综合问题
例1　(2023·上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”.
题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题
(1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率；
由频率分布直方图可知，10×(0.01＋0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋a)＝1，解得a＝0.005.
设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件A，“该学生是‘运动族’”为事件B，则P(A)＝0.72，P(AB)＝0.25，
所以在该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率为
(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40～50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望.
由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40～50分钟之间的学生有20人，所以X＝0,1,2.
高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来.
跟踪训练1　(2023·呼和浩特模拟)某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(1)应收集多少个女生样本数据？
因为该校共有15 000人，其中女生有4 500人，
又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方法收集300位学生的样本数据，
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组的区间为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12].请估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率；
由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的频率为(0.15＋0.125＋0.075＋0.025)×2＝0.75，故估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率为0.75.
(3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时间不低于4个小时的人数，求X的分布列以及数学期望.
题型二　回归模型与分布列的综合问题
例2　(2023·韶关模拟)研究表明，如果温差大，且人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为 ，求随机变量X的分布列和数学期望；
所以y1(y1－1)＝4×3×6＝9×8，解得y1＝9，即第一天新增感冒就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的所有可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，其中N＝9，M＝4，n＝2，
据此估计昼夜温差为15°C时，该校新增感冒就诊的学生人数为35.
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键.
跟踪训练2　(2023·武汉模拟)某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值(元)，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为 ＝1.2x＋40.6.(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；
所以预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益为103元.
(2)试根据样本相关系数r的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关程度(若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；若|r|