18_【名校】北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份18_【名校】北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合，则等于（）
A．B．C．D．
2．的展开式中项的系数为（）
A．－10B．－5C．5D．10
3．双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）
A．B．C．D．
4．已知函数，则下列说法中正确的是（）
A．B．的图像关于原点对称
C．在定义域内是增函数D．存在最大值
5．在中，，则等于（）
A．－16B．－9C．9D．16
6．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（）
A．B．C．D．
7．已知点是双曲线的一个焦点，直线，则“点到直线的距离大于1”是“直线与双曲线没有公共点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（）
A．B．
C．数列的前项和为D．数列是递增数列
9．已知直线恒过定点，直线恒过定点，且直线与交于点，则点到点的距离的最大值为（）
A．4B．C．3D．2
10．已知函数．若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第二部分非选择题共110分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知复数对应的点到原点的距离是，则实数______．
12．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为______．
13．已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为______．
14．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有______个．
15．在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则；②的最大值是；
③的最小值是2；④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．本小题14分
如图，四边形为矩形，平面平面，．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的大小．
17．本小题14分
在锐角中，．
（I）求；
（II）求周长的最大值．
18．本小题14分
某区12月10日至23日的天气情况如图所示．如：15日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差最高气温与最低气温的差是．
（I）从10日至21日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率；
（II）从11日至20日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于的概率；
（III）已知该区当月24日的最低温度是零下，12日至15日温差的方差为，21日至24日温差的方差为，若，请直接写出24日的最高温度．结论不要求证明）
注：，其中为数据的平均数）
19．本小题14分
已知函数．
（I）当时，求证：在上是增函数；
（II）若在区间上存在最小值，求的取值范围；
（III）若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．（结论不要求证明）
20．本小题14分
已知椭圆的焦距为，下顶点和右顶点的距离为．
（I）求椭圆方程；
（II）设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点．
21．本小题15分
已知整数，数列是递增的整数数列，即且．定义数列的“相邻数列”为，其中或．
（I）已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
（II）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
（III）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
高二第一学期期末试卷数学答案
（清华附中高22级）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．B2．A3．C4．B5．C6．D7．A8．D9．A10．C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．412．413．14．7215．①②④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
解：（I）法1：过作于，
，又．
四边形为矩形，．
平面平面．
∵，∴BC⊥平面BCF
法2：，平面平面．
由两两垂直，则以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系．
，知．
∵，∴BD⊥平面BCF．
（II）设平面的法向量为，则，．
，令，则有．即．设所求角的大小为．则．
17．（本小题14分）
解：（I）．
（II）法1：，
在锐角中，，当时，．
法2：．
当时，即是等边三角形，．
18．（本小题14分）
解：（I）设“这三天中至少有两天是晴天”为事件．连续统计三天共有12个基本事件，事件共有8个基本事件．则．
（II）从11日至20日中随机抽取两天共有个基本事件．设“恰好有一天温差小于”为事件．不高于有11日，12日，13日，14日，15日，16日，20日．事件有个基本事件．则．
（III）
法1：12日至15日温差为，平均数为4，方差．
21日至24日温差为，平均数为，
方差
由题意知，化简得，得．
法2：12日至15日温差为4，2，5，5，平均数为4，即0，1，1，2的方差为．
21日至24日温差为，数据都减去10，等价于方差为．
当且仅当时，两方差相等．
19．（本小题14分）
解：
（I）当时，令，得，当得．
当，得．所以在定义域内是单调递增函数；
（II）当时，．
当时，，则当时，，所以在区间上单调递增，
所以在区间上不存在最小值；
当时，由．此时．
所以．综上，的取值范围是．
（III）法1：方程有两个不同解，画和的图像有两个交点，则．即的取值范围为．
法2：方程有两个不同解，画和的图像有两个交点
20．（本小题14分）
解：（1）由题意得，得．则椭圆方程为．
（2）联立得，且．设．则有：
直线，则．
直线．点为线段的中点，．
直线，直线恒过定点．
21．（本小题15分）
解：（I）2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8．
（II）任取的一个“相邻数列”．
首先，一定有且．
理由：或。同理，．
其次，对于的取值分以下4种情形：
（1），
（2）；，
（3），
（4）
由数列是递增的整数数列，前3种情形都能得到，所以只需考虑第4种情形，递增，即，由是递增的整数数列得，
从而是公差为1的等差数列．于是，
则，满足数列的有11个：
（III）令，所以对任意．
设，则且．
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合．
若，令，则，
由得，所以，即．即是空集，或是连续自然数构成的集合．
若，令，则，由得，
所以，即．即是空集，或是连续自然数构成的集合．
因此的分布只可能是如下三种情况：
（i）．此时，对任意的，由得，所以对任意的，注意到，所以
等号当且仅当时取到．
（ii）存在整数，使得
对任意的，对任意的，所以
（iii）．此时，对任意的，
与情形1类似，对任意的，注意到，所以
综上，的最小值为37．－
0
+
极小值