新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第9题 三角函数性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022·北京卷T5）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，A错；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，B错；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，D错.
故选：C.
2．（2021·北京卷T7）函数 SKIPIF 1 < 0 是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 D．偶函数，且最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数为偶函数，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
3.（2020·北京卷T14）若函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，则常数 SKIPIF 1 < 0 的一个取值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均可）
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故可取 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均可）.
同角三角函数的基本关系
平方关系： SKIPIF 1 < 0
商数关系： SKIPIF 1 < 0
正弦的和差公式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
余弦的和差公式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
正切的和差公式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
正弦的倍角公式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
余弦的倍角公式
SKIPIF 1 < 0
升幂公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
降幂公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
正切的倍角公式
SKIPIF 1 < 0
推导公式
SKIPIF 1 < 0
辅助角公式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
10.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型
（1）形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x＋b（sin x±cs x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
11.有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq \f(π,ω)求解.
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
12.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
13.对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

1．已知 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．为了得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，只要将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度D．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
则为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
只需把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有的点向右平行移动 SKIPIF 1 < 0 个单位长度.
故选：B.
3．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】依题意，函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
根据正弦函数 SKIPIF 1 < 0 单调性可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，符合题意.
故选：D.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．函数 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数B．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
C．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数D．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，为奇函数；
可得 SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数.
故选：C
7．函数 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期的偶函数B．以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期的偶函数
C．以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期的奇函数D．以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期的奇函数
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，且为偶函数.
故选：B
8．函数f（x）=sin（2x+ SKIPIF 1 < 0 ）是（ ）
A．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数B．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
C．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数D．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
【答案】B
【解析】f（x）=sin（2x+ SKIPIF 1 < 0 ）=-sin（2x+ SKIPIF 1 < 0 ）=-cs2x，则函数f（x）是偶函数，
函数的最小正周期T= SKIPIF 1 < 0 =π，即f（x）是最小正周期为π的偶函数，
故选B．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数B． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
C． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数D． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
【答案】A
【解析】显然 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0
故选：A
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数B． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
C． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数D． SKIPIF 1 < 0 是最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数是奇函数.
故选：C
11．函数y＝1－2sin2 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数
D．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
【答案】A
【解析】y＝1－2sin2 SKIPIF 1 < 0 ＝cs2 SKIPIF 1 < 0 ＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，
故选：A.
12．设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数B．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数
C．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数D．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数
【答案】B
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
故选：B
13．函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
15．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
16．若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
18．已知 SKIPIF 1 < 0 ．使 SKIPIF 1 < 0 成立的一组 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，符合要求.
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
20．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的增区间是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由题意： SKIPIF 1 < 0 为函数的最大值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.可记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
恒等变换与三角函数性质
2022·北京卷T5
预测2024年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命题．
三角函数的客观题难度中等或偏难，纵观近几年的试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考冲刺的重点复习内容。
恒等变换与三角函数性质
2021·北京卷T7
辅助角与三角函数性质
2020·北京卷T14