新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第20题 导数解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T20）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的极值点个数．
【解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个极小值点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个极大值点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个极小值点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值点；
综上： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个极小值点，在 SKIPIF 1 < 0 上有一个极大值点，共有 SKIPIF 1 < 0 个极值点.
2.（2022·北京卷T20）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
(3)证明：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线斜率 SKIPIF 1 < 0
∴切线方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以命题得证.
3.（2021·北京卷T19）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，列表如下：
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
1.导函数与原函数的关系
SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减
2.极值
极值的定义
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处先↗后↘， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处先↘后↗， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值
3.导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上，又在曲线上.
4.利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
5.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点.
6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
7.两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
8.常用函数不等式：
① SKIPIF 1 < 0 ，其加强不等式 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ，其加强不等式 SKIPIF 1 < 0 .
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
放缩 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
9.利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）转化为证明 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），进而构造辅助函数 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）转化为证不等式 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），进而转化为证明 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），因此只需在所给区间内判断 SKIPIF 1 < 0 的符号，从而得到函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并求出函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可.

1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 不符题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由上可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ①，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由上可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)若集合 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个元素，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以集合 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个元素时 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，没有单调增区间；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
由（2）可知，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
也即当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 零点个数，并说明理由．
【解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以判断 SKIPIF 1 < 0 的零点个数，即判断 SKIPIF 1 < 0 的零点个数，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，即 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 无零点，即 SKIPIF 1 < 0 无零点，
综上可得当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 无零点.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 小于0，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 大于0，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即证明不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的情况如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：由（2）得，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值1，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 .
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1的切线方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值.
【解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值即最小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ；
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若正数a使得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.求a的取值范围；
(3)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，讨论其在定义域内的零点个数．
【解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，则对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（3）依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有1个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，于是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有1个零点，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无零点，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有1个零点.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围并证明 SKIPIF 1 < 0 .
【解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在（0，+∞）上恒成立.
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立. SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0
定义域为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在（0， SKIPIF 1 < 0 ）上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个零点的必要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在（1， SKIPIF 1 < 0 ）上存在一个零点（ SKIPIF 1 < 0 ）.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在（ SKIPIF 1 < 0 ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设两个零点 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是0，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
经检验， SKIPIF 1 < 0 时符合题意，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的情况如下:
SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，无增区间；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的情况如下：
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由题意， 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是0，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去;
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
切线方程，单调性，极值
2023·北京卷T20
可以预测2024年新高考命题方向将继续以几何意义，导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证明问题为背景展开命题．
导数大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
切线方程，单调性，证明问题
2022·北京卷T20
切线方程，极值、单调性、最值
2021·北京卷T9
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
增
极大值
减
极小值
增
x
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
递减
极小
递增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极小值
SKIPIF 1 < 0
极大值
SKIPIF 1 < 0