重庆市南开中学2025届高三上学期8月第一次质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
3. 是定义在上的奇函数，当时，；则不等式的解集（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在同一直角坐标系内，存在一条直线，使得函数与函数y=gx的图象关于直线对称，就称函数是函数的“轴对称函数”．已知函数（是自然对数的底数），则下列函数不是函数的“轴对称函数”的是（ ）
A. B. C. D.
6. 设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为（ ）
A B. C. D. 1
7. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，则的大小关系是（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列式子中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，，，函数的图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 直线的斜率取值范围是D. 的取值范围是
11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的导函数的图象关于直线对称
D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．
13. 已知函数，正数满足，则的最小值为______．
14. 已知函数，且，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值.
16. （2018届江苏省泰州中学高三10月月考）已知二次函数关于实数的不等式的解集为.
(1)当a>0时,解关于的不等式
(2)是否存在实数使得关于的函数的最小值为若存在,求实数的值;若不存在,说明理由.
17. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．
（1）设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；
（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．
18. 已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点轨迹为
（1）求轨迹方程；
（2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由：
（3）过点直线交轨迹于，两点，射线交轨迹于点，射线交椭圆于点，求四边形面积的最大值.
19. 对于正实数a，，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：．
（1）设，求证：；
（2）证明；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围．