新高考数学三轮冲刺通关练习07 函数性质（易错点 七大题型）（2份打包，原卷版+解析版）

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目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
【题型三】 轴对称
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【题型五】 画图：类周期函数
【题型六】 恒成立和存在型问题
【题型七】 嵌套函数
函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟练于心，才能保证做题的速度与准确度。
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
函数图像的画法与零点问题
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
若 f (x) 都可以唯一表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数 h(x) 之和，当 h(x)  m 时，则 f (x) 关于点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数 g(x) 向上平移了 m 个单位，即 f (x)  f (x)  2 f (0)  2m ；当 h(x)  m 时， 则有 f (x)  f (x)  2h(x) ．
推论 若 f (x)  g(x)  m ，则f (x) max ＋ f (x) min  2 f (0)  2m ．
例（1）已知f (x)=，则 ．
（2）已知f (x)=，则．
（3）已知函数，则 ．
（4）已知函数，则．
注意 辨别奇函数 g(x) 和常数项 m 后直接用 f (x)  f (x)  2 f (0)  2m 来破解．
变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2：（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的周期为2
D．
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
中心对称的数学语言：
若满足，则关于中心对称
三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ．
【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．在定义域内单调递减D．为奇函数

【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．28B．16C．20D．12
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．不等式无解D．的最大值为
【变式2】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答）
【题型三】 轴对称
数学语言：
函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
3.与关于直线对称。
常见的偶函数：
【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．是奇函数
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为2D．
【变式3】（多选）（2024·河北邢台·一模）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
D．
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
【例1】（2023·浙江·一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
【例2】（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
【例3】（多选）（2023·江西·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（多选）（2024·吉林白山·二模）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．
C．的周期为4D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】 画图：类周期函数
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【例1】定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数”
B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【变式1】定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2023·山东济南·模拟预测）已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（ ）
A．是偶函数B．C．D．
【题型六】 恒成立和存在型问题
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
【例1】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（ ）
A．函数的图象过点
B．函数的图象关于原点对称
C．的图象关于点对称
D．
【变式2】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.
【变式3】（21-22高三上·全国·阶段练习）已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，，使得能成立，求实数m的取值范围．
【题型七】 嵌套函数
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调 用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．
一 嵌套函数解析式问题的解题方法：
换元法：将被嵌套的部分换为一个主元t，即求出 y  f (t)解析式，属于通法．
待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可．
二 不动点与稳定点
不动点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f (x)  x 的解 x 称为函数f (x)的不动点，即 y  f (x)与y  x图象交点的横坐标．
例如：函数f (x)  2x 1有一个不动点为1，函数的不动点．有两个不动点，1．
稳定点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f [ f (x)]  x的解x称为函数f (x)的稳定点，即y  f [ f (x)]与y  x 图象交点的横坐标。很显然，若为函数 y  f (x) 的不动点，则必为函数 y  f (x) 的稳定点．
证明：因为f () ，所以f ( f ())  f ()  ，故也是函数 y  f (x) 的稳定点．
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（2023·浙江温州·二模）定义：对于函数，若，则称为的“不动点”，若
，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即.
(1)证明下面两个性质：
性质1：；
性质2：若函数单调递增，则；
(2)已知函数，若集合中恰有1个元素，求的取值范围.
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔().简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.
【变式3】（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．