新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题14 平面向量的数量积及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2、掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量数量积的概念
【考点总结】
一、向量数量积的定义及性质
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
二、向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图2­4­1所示：eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cs θ.
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影.
图2­4­1
(2)数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
二、面向量数量积的坐标表示
【考点总结】
一、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
3.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【题型汇编】
题型一：平面向量数量积的概念
题型二：平面向量数量积的运算
题型三：平面向量数量积的坐标表示
【题型讲解】
题型一：平面向量数量积的概念
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·山西临汾·三模（理））已知△ABC的外接圆圆心为O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 的方向上的投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－1C．1D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 是非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文）） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的正射影的数量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1．（2022·辽宁·二模）下列关于向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的运算，一定成立的有（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：平面向量数量积的运算
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
2．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
4．（2022·广东·一模）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．2 SKIPIF 1 < 0 D．4
5．（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·山东烟台·一模）若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·河北邯郸·二模）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·北京·人大附中三模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，下列说去不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·福建龙岩·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·重庆实验外国语学校一模）设平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
题型三：平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））设向量 SKIPIF 1 < 0 =（3，k)， SKIPIF 1 < 0 =（－1，3），已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则k=（ ）
A．2B．1C．－2D．－1
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·湖南岳阳·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．（2022·安徽省含山中学三模（理））若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·江西赣州·二模（理））已知点A（0，3），点B（3，0），若点C满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．36C．-18D．-36
6．（2022·山东枣庄·一模）在长方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．0.5C．3D．1.5
7．（2022·陕西汉中·二模（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系正确的是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·四川·仁寿一中二模（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·四川攀枝花·二模（文））平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .若点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·江苏·金陵中学二模）设平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
A．5B．6C．7D．10
二、多选题
1．（2022·山东青岛·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
2．（2022·广东韶关·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 可以表示平面内任一向量
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
3．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是它的内切圆一条弦，点 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 四条边上的一个动点，当弦 SKIPIF 1 < 0 的长度最大时， SKIPIF 1 < 0 不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·山东潍坊·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到 SKIPIF 1 < 0 的位置，则（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0
三、解答题
1．（2022·云南·二模（文））△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求△ABC的面积．
2．（2022·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0