新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题16 等差数列及其前n项和（2份打包，原卷版+解析版）

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1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
4、熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
【思维导图】
一、等差数列的概念
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq \f(a＋b,2).
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝eq \f(a＋b,2)或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
二、等差数列的前n项和
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn．则 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．
思考 由Sn与Sn－1的表达式可以得出
an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Sn－Sn－1 （n≥2），,S1 （n＝1）.))
2、等差数列前n项和公式
1．公式1：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)．
2．公式2：若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d．
3．推导方法：倒序相加法
过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
∴2Sn＝n(a1＋an)，
∴Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2).
4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形
Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(d,2)n2＋(a1－eq \f(d,2))n.
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；
②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数．
3、等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
2．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
4．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
【题型汇编】
题型一：等差数列及其通项公式
题型二：等差数列的性质
题型三：等差数列的前n项和
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
【题型讲解】
题型一：等差数列及其通项公式
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B．18C．20D．22
2．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
3．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28B．30C．32D．35
4．（2022·陕西汉中·二模（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·广西柳州·三模（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．8B．7C．6D．9
7．（2022·山西太原·一模（文））设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．26B．27C．28D．29
8．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．19B．20C．21D．20或21
9．（2022·四川成都·二模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·江苏·金陵中学二模）设 SKIPIF 1 < 0 是公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：等差数列的性质
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-110B．-115C．110D．115
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·安徽淮南·二模（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．12C．14D．20
4．（2022·安徽滁州·二模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2022·四川·成都七中二模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2020B．1021C．1010D．1002
7．（2022·江西·二模（文））己知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若公差 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·河南许昌·三模（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·山西太原·二模（理））等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则公差 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．－1D．－2
10．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．60B．50C．30D．20
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
C． SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为29
2．（2022·江苏南京·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 中的最大项为 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
题型三：等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·一模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南·一模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A．-6B．-4C．-2D．2
5．（2022·江西师大附中三模（理））等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．72B．75C．60D．100
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．39C．42D．78
7．（2022·安徽合肥·二模（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．10B．12C．13D．14
8．（2022·重庆·二模）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为2，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
9．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·浙江杭州·二模）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B．15C．18D．21
二、多选题
1．（2022·河北沧州·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东惠州·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．公差 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
一、单选题
1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．8B．7C．6D．9
2．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．19B．20C．21D．20或21
3．（2022·重庆·二模）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为2，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．（2022·河南许昌·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ．成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·北京·潞河中学三模）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和.则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·上海·二模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为递增数列
B．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值
C．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
D．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数m，n都有 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值等于（ ）
A．133B．135C．136D．138
8．（2022·河南·三模（理））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且它的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最小值，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1．（2022·福建漳州·三模）已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 是递增数列B． SKIPIF 1 < 0 是递减数列
C． SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)