浙江省杭州市余杭区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份浙江省杭州市余杭区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．若a是实数，则|a|≥0 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
3．已知一个二次函数y=ax2（a≠0）的图象经过（﹣2，6），则下列点中不在该函数的图象上的是（ ）
A．（2，6） B．（1，1.5） C．（﹣1，1.5） D．（2，8）
4．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦
5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
9．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
12．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标是 ．
13．已知△ABC的边BC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A= 度．
14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 ．
15．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为 ．
16．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 ．
三、解答题（6+8+8+10+10+12+12=66分）
17．如图，
（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．
18．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
19．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．
20．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
21．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圆的圆心点M的坐标；
（2）求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．
22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式； ②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
23．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）抛物线的解析式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1B．y=ax2+bx+cC．s=2t2﹣2t+1D．y=x2+
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D、y=x2+不是二次函数，故D错误；
故选：C．

2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．若a是实数，则|a|≥0B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案．
【解答】解：A、若a是实数，则|a|≥0是必然事件，故A正确；
B、是随机事件，故B错误；
C、是随机事件，故C错误；
D、是随机事件，故D错误；
故选：A．

3．已知一个二次函数y=ax2（a≠0）的图象经过（﹣2，6），则下列点中不在该函数的图象上的是（ ）
A．（2，6）B．（1，1.5）C．（﹣1，1.5）D．（2，8）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再依次将各选项的点代入解析式即可作出判断．
【解答】解：把（﹣2，6）代入y=ax2（a≠0）中得：4a=6，
a=，
∴这个二次函数的解析式为：y=，
A、当x=2时，y=×22=6，所以点（2，6）在该函数的图象上；
B、当x=1时，y=×12=1.5，所以点（1，1.5）在该函数的图象上；
C、当x=﹣1时，y=×（﹣1）2=1.5，所以点（﹣1，1.5）在该函数的图象上；
D、当x=2时，y=×22=6，所以点（2，8）不在该函数的图象上；
故选D．

4．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦D．直径是同一圆中最长的弦
【考点】确定圆的条件；垂径定理．
【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选D．

5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，
∴对称轴是x=﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．

6．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣3，再根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣3，
∵半径OD与弦AB互相垂直，AB=8，
∴AC=AB=4．
在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣3）2+42，解得r=．
故选C．

7．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10B．14C．16D．40
【考点】利用频率估计概率．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，
∴=0.4，
解得：n=10．
故选A．

8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°
【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．
【分析】连接OA，OB，AB及BC，由AB等于圆的半径，得到三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出∠ACB的度数，再由∠ACB为△SCB的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正确的选项．
【解答】解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示：
∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故选D

9．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．

10．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；由抛物线与y轴的交点判断c的符号；由抛物线和直线图象上点的坐标判断有关代数式的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=﹣2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
∵b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正确；
∵b=﹣2a，
∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0错误；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞﹣1．
∴③﹣1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=．
由图象知x2＞1，
∴＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．
故选B．

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 ．
【考点】概率公式；三角形三边关系．
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．
【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：
2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，
能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．

12．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标是 （2，1） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．

13．已知△ABC的边BC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A= 60或120 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，由垂径定理得出BD=CD=BC=cm，由等腰三角形的性质得出∠BOD=∠COD=∠BOC，由三角函数求出∠BOD=60°，得出∠BOC=120°，由圆周角定理即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时；连接OB、OC，作OD⊥BC于D，如图1所示：
则∠ODB=90°，BD=CD=BC=cm，∠BOD=∠COD=∠BOC，
∵sin∠BOD=，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠A=∠BOC=60°
②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
∠A=180°﹣60°=120°；
综上所述：∠A的度数为60°或120°，
故答案为：60或120．

14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 60° ．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，
∵∠AOD=90°，
∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，
∠ACO=∠A===70°，
由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．
故答案为：60°．

15．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为 5 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．
【解答】解：作OF⊥PQ于F，连接OP，
∴PF=PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四边形MEOF为矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四边形MEOF为正方形，
设半径为x，则OF=OE=18﹣x，
在直角△OPF中，
x2=122+（18﹣x）2，
解得x=13，
则MF=OF=OE=5，
∴OM=5．
故答案为：5．

16．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 （，3）或（，）或（，）或（2，2） ．
【考点】二次函数综合题．
【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直线OA：y=x，
联立抛物线的解析式得：，
解得：或，
故A（，3）；
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得：或，
故P（，），那么A（，）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得：或，
故P（，），
∴OP==，QP=，
∴OH=OP=，AH=QP=，
故A（，）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得：或，
∴P（，3），
∴QP=2，OP=2，
∴OH=QP=2，AH=OP=2，
故A（2，2）．
综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．
故答案为：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．

三、解答题（6+8+8+10+10+12+12=66分）
17．如图，
（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为圆心，OA为半径，作△ABC的外接圆即可；
（2）先根据勾股定理求出CD的长，设OC=OA=r，则OD=CD﹣r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AD=AB=3cm，
∴CD===4cm．
设OC=OA=r，则OD=4﹣r，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2=OA2，即32+（4﹣r）2=r2，解得r=．

18．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；
（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否．
【解答】解：（1）列表如下：
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有四种结果，
∴P（甲、乙在同一层楼梯）==；
（2）不公平，理由为：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）==，P（小芳胜）=1﹣=，
∵＞，
∴游戏不公平．

19．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=，则+=+，故=．
【解答】证明：如图，∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．

20．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）根据题意列出方程解答即可；
（3）根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可．
【解答】解：（1）设该函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得：．
故该函数的表达式为y=﹣2x+100；
（2）根据题意得，
（﹣2x+100）（x﹣30）=150，
解这个方程得，x1=35，x2=45，
故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；
（3）根据题意，得
w=（﹣2x+100）（x﹣30）
=﹣2x2+160x﹣3000
=﹣2（x﹣40）2+200，
∵a=﹣2＜0 则抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=40时，w的值最大，
∴当销售单价为40元时获得利润最大．

21．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圆的圆心点M的坐标；
（2）求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．
【分析】（1）根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答；
（2）连接OM，作MN⊥DE于N，根据勾股定理求出DN，根据垂径定理求出DE．
【解答】解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），
∴线段BC的垂直平分线是x=﹣2，
∵A（2，2），C（2，﹣4），
∴线段AC的垂直平分线是y=﹣1，
∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）连接OM，作MN⊥DE于N，
由题意得，AC=6，BC=8，
由勾股定理得，AB=10，
则DN==2，
由垂径定理得，DE=2DN=4．

22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式； ②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【考点】二次函数的应用；垂径定理的应用．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．
【解答】解：（1）①设抛物线解析式为：y=ax2+c，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：y=，
②∵要使高为3米的船通过，
∴y=3，则3=，
解得：x=±5，
∴EF=10米；
（2）①设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2=BC2+CW2，
∴r2=（r﹣4）2+102，
解得：r=14.5；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，
根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，
即GF2=14.52﹣13.52=28，
所以GF=2，
此时宽度EF=4米．

23．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．
（1）点A的坐标为 （0，2） ，点B的坐标为 （﹣3，1） ；
（2）抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、BE的长即可求出B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）先求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式，然后求出CF的长，再根据S△DBC=S△CEB+S△CED进行计算即可；
（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的对应边相等可得出点P1点的坐标；
②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性质可得出点P2的坐标；点P1、P2的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
③以点P为直角顶点，求出点P的坐标，再判断点P不在抛物线上．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，
∴OA===2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（﹣3，1），
故答案为：（0，2），（﹣3，1）；
（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：
1=9a﹣3a﹣2，
解得a=，
∴抛物线解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2；
（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣，﹣），
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：
，
解得．
∴BD的关系式为y=﹣x﹣．
设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣，0），CE=．
∴S△DBC=××（1+）=；
（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1（1，﹣1）；
②若以点A为直角顶点；
i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（2，1），
ii）若以点P为直角顶点．
过P3作P3G⊥y轴于G，
同理，△AGP3≌△CAO，
∴GP3=OA=2，AG=OC=1，
∴P3为（﹣2，3）．
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上，点P3（﹣2，3）不在抛物线上．
故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．

2017年1月18日x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
甲
乙
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28