【开学考】2024秋高二上册开学摸底考试卷数学（广东专用）.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可.
【详解】，则，且，解得，
则集合，
则
故选：B.
2．如果复数满足，那么复数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证.
【详解】A.时，，故A错误；
B.，则，故B错误；
C. ，则，故C错误；
D. ，则，故D正确.
故选：D
3．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】C
【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.
【详解】在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，，则与相交或平行，故错误；
在中，若，，则由面面垂直的判断得到，故正确；
在中，由，，， 故或，故 错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．
4．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）
A．众数B．中位数
C．方差D．极差
【答案】D
【分析】
根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】对A：假设，，中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为，那么众数为和；
再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A错误；
对B：假设，，分别为：，满足平均数为，其中位数为；
添加以后，其中位数为，中位数发生改变，故B错误；
对C：，，的平均数为，方差；
添加2以后，其平均数还是，方差，故方差发生改变；
对D：若是，，的最大值或最小值，因为其平均数为，故这组数据都是2，其极差为，添加2后，极差也是0；
若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D正确.
故选：D.
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得.
【详解】的定义域为R，
因为
，所以为偶函数，故CD错误；
又因为，，所以，故B错误.
故选：A
6．已知函数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，即得.
【详解】∵函数，
∴函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，
又，
∴，
∴.
故选：B.
7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可讨论时，可看出在上单调递增，而在上不是增函数，显然不合题意；时，可看出在上单调递减，从而得出，解出a的范围即可．
【详解】解：①时，在上是增函数；
∴在R上是增函数；
显然在上不是增函数；
∴的情况不存在；
②时，在上是减函数；
∴在R上是减函数；
∴，解得；
综上得，实数a的取值范围为．
故选：C．
8．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.
【详解】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
设的中点为，连接，则，则平面，
设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，
设，，外接球的半径为，
因为，所以，
即，又，则，
因为，所以
所以三棱锥外接球表面积的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：
（1）棱长为的正方体的外接球半径为；
（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；
（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与夹角是D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为向量，，则，
且，则，解得，故A错误；
因为，，则，故B正确；
因为，则，故C正确；
因为，则，故D正确；
故选：BCD
10．若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A B C：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.
【详解】对于选项A：若，
由基本不等式得，
即，
得，
故，
当且仅当时取等号；
所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，
所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
由基本不等式有：
，
当且仅当且，
即时取等号，
所以选项C正确；
对于选项D：，
又，得，
所以，
所以选项D正确；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形
C．存在唯一的点，使得
D．与平面所成的角为定值
【答案】AC
【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D.
【详解】因为是线段上的动点，而且，
所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，
，所以三棱锥的体积是定值，A正确；
过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，
为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；
在上运动，当时，，而为中点，
所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；
由，平面，平面，则平面，
所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，
故与平面所成的角不为定值，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解.
填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是 ．
【答案】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】把这个数据按从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，，
，所以这人年龄的分位数是．
故答案为：．
13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为 平方分米．
【答案】
【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，
由棱台的性质可知：外接球的球心落在线段上，
设外接球的半径为，，则，
因为垂直于上下底面，
所以即，
所以即，
联立解得，,
所以该方斗的外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围 .
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得， ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.
【详解】因为，且，
所以，即，
由余弦定理得：，
所以，又，
所以，
解得：或，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理得：
，
因为为锐角三角形，
所以，即,
所以，
所以，
所以，
所以，，
故.
故答案为：.
解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；
(2)求方程f(x)＝的解．
【答案】(1);(2)∴x＝－或－或－或．
【详解】试题分析：解：(1)当x∈时，A＝1，＝－，T＝2π，ω＝1.
且f(x)＝sin(x＋φ)过点，
则＋φ＝π，φ＝.
f(x)＝sin.
当－π≤x＜－时，－≤－x－≤，
f＝sin，
而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，
则f(x)＝f，
即f(x)＝sin＝－sin x，－π≤x＜－.
∴
(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，
由f(x)＝sin＝，
得x＋＝或，x＝－或.
当－π≤x＜－时，由f(x)＝－sin x＝，sin x＝－，
得x＝－或－.
∴x＝－或－或－或.
考点：三角函数的图像与解析式
点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题．
16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成六组进行统计，得到如图所示的统计图.
（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；
（2）从样本中重量不小于克的水果中任取个，求至少有个水果的重量不小于克的概率.
【答案】（1）18.45；（2）.
【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.
（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为，则
（2）重量不小于克的水果有个，记为
其中重量不小于克的水果有个，记为
从中任取个，有
，共种情况
至少有个水果的重量不小于克的有
，共种情况
则至少有个水果的重量不小于克的概率
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
17．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段上一点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出平面．在中根据中位线定理，证出，从而平面，结合面面垂直的判定定理，可得平面平面；
（2）根据线面平行判定定理，得到平面，推出三棱锥的体积等于三棱锥的体积．再由面面垂直的性质证出点到平面的距离等于正的高，算出的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥的体积，即可得到三棱锥的体积．
【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，
又中，、分别是、的中点，
，可得平面
平面，平面平面；
（2），平面，平面，
平面，
因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离，
，
取的中点，连接、，则，
平面，平面，，而 ,
于是，
平面平面，平面平面，
由题意知 , 是正三角形，则,是正三角形，
点到平面的距离等于正的高，即为，
因此，三棱锥的体积．
18．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)若的外接圆半径为，且，求；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后据（1）的条件得到，进一步可得到，最后使用余弦定理解出；
（2）先由已知及是锐角三角形，得到，再对任意的构造满足题目条件且面积等于的，即可得到的面积的取值范围是.
【详解】（1）由及正弦定理得.
故，得.
所以，知.
记的外接圆半径为，则，且，故.
又有，
所以，即.
故，
解得.
（2）我们已有，记的外接圆半径为，则.
是锐角三角形当且仅当，即，故的范围是.
又因为
.
故由的范围是，知的范围是，所以的范围是.
而，所以的面积的取值范围是.
19．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.
(1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据给定的性质，求出函数在的解析式，再分类讨论求出最大值.
（2）根据给定的性质，求出函数的解析式，并分析函数性质作出图象，令，把函数的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解.
【详解】（1）由具有“性质”，得对恒成立，则函数是上的偶函数，
当时，，，
则当时，；当时，，
所以当，最大值为；当时，最大值为.
（2）函数具有“性质”，则，即，
而当时，，则当时，，，
于是，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如图，
令，显然当时，方程无解，当或时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，当时，方程有4个解，
函数有8个零点，则在上有两个不等的实数根，
因此，解得，
所以的取值范围为.