福建省部分学校2025届新高三暑期成果联合质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省部分学校2025届新高三暑期成果联合质量检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数,则z的虚部为( ).
A.3B.-3C.D.-1
3．已知等比数列为递增数列,若,,则公比( )
A.B.6C.D.
4．已知函数,满足,则实数t的值为( )
A.B.C.1D.2
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
6．如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱.若侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,当底面水平放置时,液面高为( )
A.3B.C.D.
7．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．某城市采用摇号买车的方式,有20万人摇号,每个月摇上的人退出摇号,没有摇上的人继续进入下月摇号,每个月都有人补充进摇号队伍,每个季度第一个月摇上的概率为,第二个月为,第三个月为,则平均每个人摇上需要的时间为________个月( )
A.7B.8C.9D.10
二、多项选择题
9．已知m,为实数,随机变量,且,则( )
A.B.C.D.
10．如图,在棱长为2的正方体中,点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点,点Q是棱的中点,则以下命题正确的是( )
A.三棱锥的体积是定值
B.存在点P,使得与所成的角为
C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D.若,则P的轨迹的长度为
11．利用不等式“”可得到许多与n（且）有关的结论,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．在中,已知,,点G为的外心,点O为重心,则_______________.
13．已知,,若对任意实数x都有恒成立,则满足条件的一组有序数对为________________.
14．已知函数有且只有一个零点,则ab的取值范围为____________.
四、解答题
15．已知为数列的前n项和,若.
(1)求证：数列为等比数列;
(2)令,若,求满足条件的最大整数.
16．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,且满足.
(1)求的值;
(2)设,,求外接圆的半径.
17．如图所示,是的直径,点C是上异于A,平面ABC,E、F分别为,的中点,
(1)求证：平面PBC;
(2)若,,二面角的正弦值为,求BC.
18．已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点作直线l与椭圆相交与A,B两点,试问在x轴上是否存在定点Q,使得两条不同直线,恰好关于x轴对称,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
19．已知
(1)将,,x,按由小到大排列,并证明;
(2)令求证:在内无零点.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,,则.
故选：C.
2．答案：B
解析：复数,
所以z的虚部为-3.
故选：B.
3．答案：D
解析：由,,解得或;
数列是由正数组成的递增数列,,且,.
故选：D.
4．答案：B
解析：,
即,则.
故选：B.
5．答案：D
解析：化简得：,
根据正弦定理整理可得,因为
即,所以或,
可得或或,
所以等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
6．答案：B
解析：设当底面水平放置时,液面高为h,
依题意,侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,
所以水的体积,
解得.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题意可知,,则,设,则,
所以,故C的离心率为.
故选：C.
8．答案：C
解析：设X表示摇上需要的时间,则X可能取1、2、3、、n、,
则,,
,,
,
,,
故
,
则
,
故
即,
当时,,故平均每个人摇上需要的时间为9个月.
故选：C.
9．答案：AB
解析：因为随机变量,且,
由正态曲线的对称性,可得,因为,
所以,故A正确;
,故B正确;
,即,故C错误;
由于当,时,满足,但是,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：对于A,三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
是定值,A正确;
以为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,设,则
对于B,,使得与所成的角满足：
,
因为,,故,故,
而,B错误;
对于C,平面的法向量,
所以直线与平面所成角的正弦值为：,
因为,,故
故,
而,,
故即的取值范围为,C正确;
对于D,,,由,
可得,化简可得,
在平面内,令,得,令,得,则P的轨迹的长度为
,D正确;
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：取,ABD正确,C显然错误.
对于不等式,当且仅当时,等号成立,
对于A选项,令,所以,
故,
其中
,所以,A正确;
对于B选项,将x替换为,可得,当且仅当时等号成立.令,可得,所以,
故,
得,所以,所以B正确;
对于D选项,等价于证明,将中的x替换为,其中,,则,则,故,当且仅当时,等号成立,则,D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：设的中点为D,连接,,
由点G为的外心,可得,
由点O为重心,可得,
故
.
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：,若对任意实数x都有恒成立,
则,或,
由,得,
因为,令,得,
由,得,
因为,令,得,
所以满足条件的一组有序数对为或.
故答案为：（答案不唯一）
14．答案：
解析：依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，
则只有一个解，
，化简得，将其代入，
得，
，即，.
，，
则，设，
则，
在单调递减，，,
的取值范围是.
15．答案：(1)证明见解析
(2)5
解析：(1)证明：由可得,
当时,,解得,
当时,,即,
则
,即,
即,即,
又,
所以数列是首项为6,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得,则,
设,
则
令,得,
即,即,
又,,,
所以满足条件的最大整数为n为5.
16．答案：(1)2
(2)
解析：(1)由,结合正弦定理,得.
因为,所以.
由余弦定理的推论,得,
所以,所以,
整理,得,
解得（舍去）.
(2)由(1),知,,解得.
又,所以是边长为1的正三角形.
由,知A,B,D三点共线,且.
由,知A,C,E三点共线,且.
在中,由余弦定理,
得,解得.
设外接圆的半径为R,由正弦定理,得,
所以,即外接圆的半径为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：因为平面ABC,平面,所以,
因为是的直径,知,
因为,且,平面,所以平面,
由E,F分别是,的中点,所以,所以平面.
(2)以C为原点,,,所在直线分别为x轴、轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
设,,且,
所以,,
易知平面的一个法向量,
设平面的一个法向量,
则,即, ,
取,得,,则,
因为二面角的正弦值为,则其余弦值为,
所以,化简得,
又因为,所以,
解得：,即,
所以,即.
18．答案：(1);
(2)存在定点
解析：(1)由题意得,解得,
椭圆C的标准方程为;
(2)在轴上假设存在点Q,使得,恰好关于x轴对称,
设,,直线,,
联立,得,则,,
因为,恰好关于x轴对称,所以,即,
即,即
整理可得,
则,即得,即.
故在x轴上存在定点,使得两条不同直线,恰好关于x轴对称.
19．答案：(1),证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)令,
则,令,
则,
因为,所以,
则在上单调递增,
则,
所以当时,,则,
所以在上单调递增,
则,
即当时,,
又,当时,,
即当时,
综上：
(2)要证在内无零点,
只需证
由(1)知,
只需证;
即证：,
即证：,
令,
则,
令,则,
当时,,则在上单调递增;
所以当时,,
则在单调递增,
所以
即在内无零点.