福建省莆田市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．数列1,,5,,9,.的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
3．已知等差数列中，,，则公差d的值为( )
A.B.1C.-1D.
4．已知等比数列中，，则( )
A.4B.±4C.8D.±8
5．已知直线l的一个法向量为，且经过点，则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
6．已知数列满足,，则( )
A.2B.C.-1D.2023
7．过点作直线l，若直线l与连接,两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为( )
A.B.C.D.
8．已知实数x,y满足方程，则的最大值和最小值分别为( )
A.,B.,C.,D.,
二、多项选择题
9．设等差数列的前n项和为，若，且，则( )
A.B.C.D.最大
10．直线l的方程为：，则( )
A.直线l斜率必定存在
B.直线l恒过定点
C.时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
D.时直线l的倾斜角为
11．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数( )
A.1B.-1C.-2D.2
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）
14．点到直线的距离为__________.
15．点关于直线的对称点Q的坐标为__________.
16．若数列的通项公式是，则__________.
四、解答题
17．等差数列中，已知,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.
18．已知直线l的方程为.
（1）求过点，且与l平行的直线方程；
（2）过点，且与l垂直的直线方程.
19．在平面直角坐标系中有曲线.点B为曲线上的动点，点.
（1）求线段的中点的迹方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求出对应点B的坐标
20．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为.若,,.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
21．已知圆C过点,，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程.
22．已知正项数列的前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，的斜率为1，倾斜角为.
故选：B.
2．答案：C
解析：先不考虑符号，数列1,3,5,7,9,…的通项公式为，
然后再考虑符号（正负交替出现），则它的一个通项公式为.
故选：C.
3．答案：C
解析：等差数列中，，，
则，即，
解得
故选C
4．答案：C
解析：依题意，.
故选：C
5．答案：A
解析：由题可知：使用点法式可得直线方程为，
化简得：.
故选：A
6．答案：A
解析：由，，，……
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
7．答案：B
解析：
设直线l的斜率为k，倾斜角为,，
，，
因为直线l经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：圆，圆心，半径为，
令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值，
，解得，
的最大值为，最小值为.
故选：B
9．答案：ABC
解析：等差数列，由得，所以A正确；
，故B正确；
，又，可知,,,大于0,，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：当时，直线，此时斜率不存在，故A错误；
直线，即，直线l恒过定点，故B正确；
时，直线，在x轴，y轴上截距分别为，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确.
时，直线，此时斜率为，倾斜角为，故D错误；
故选：BC
11．答案：AD
解析：，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
，即时，直线化为，
因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.
故选：AD.
12．答案：BCD
解析：斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,，则,,,,,,,,,，，，，
即数列是以6为周期的周期数列，
对于A，，故A错误；
对于B,
，故B正确；
对于C，，，，，
，故C正确；
对于D，，
，
，，，，
，
又，，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：（只需满足即可）
解析：直线的斜率为，
所以，直线的方向向量坐标可以为.
故答案为：（只需满足即可）.
14．答案：
解析：由题可知：，则
所以点到该直线的距离为
故填
15．答案：
解析：设是点关于直线的对称点，
由题意可得，解得，，可得.
故答案为：.
16．答案：3036
解析：因为，
所以，，，，
所以，
故答案为：3036
17．答案：（1）；
（2）6
解析：（1）设首项为，公差为d.因为,，
所以解得,，所以.
（2）由（1）可得，所以当或3时，取得最
大值..
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设与l平行的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与l平行的直线方程为.
（2）设与l垂直的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与l垂直的直线方程为：.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设线段的中点为，点，
由中点坐标公式可得即
由于点B在曲线上，则，
即，整理可得，
因此，线段的中点的轨迹方程为.
（2）由于点B在曲线上，当点B为曲线与y轴的交点时，的面积取得最大值，此时B点的坐标为.
20．答案：（1）,；
（2）.
解析：（1）由,，
则
设等差数列的公差为d，则，所以.
所以
设等比数列的公比为q，由题，即，所以.
所以；
（2），
所以的前n项和为
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆C的方程为；
（2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点M关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
即，解得，
所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，，.
当时，①，，②
①-②得：，
即：.
，
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）可知，则
①
两边同乘2得：，②
①-②得：
，
.