江西省抚州市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江西省抚州市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．的值为( )
A.B.C.D.
3．直线l与平面不平行,则( )
A.l与相交B.
C.l与相交或D.以上结论都不对
4．在中，若，，，则边AC的长为( )
A.B.C.D.
5．在中,边上的中线与边上的中线的交点为E,若,则( )
A.1B.-1C.D.
6．如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中与底面的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．如图所示,为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,,,则塔高AB为( )
A.B.C.D.
8．如图,在中,点D,D,E分别为BC和BA的三等分点,点D靠近点B,AD交CE于点P,设,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,则的值可以是( )
A.1B.2C.D.3
10．如图,正方体中,,P为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
A.B.平面
C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为
11．设函数的最小正周期为,且过点,则下列说法正确的是( )
A.为偶函数
B.的一条对称轴为
C.把的图象向左平移个单位长度后得到函数,则
D.若在上单调递减,则a的取值范围为
三、填空题
12．计算:_____________.
13．已知,,,,则向量在向量上的投影向量为___________（用坐标表示）
14．四面体中,,,,则该四面体的体积____________.
四、解答题
15．如图,在圆锥中,已知,的直径,点C是的中点,点D为的中点.
(1)证明：平面平面;
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
16．已知函数的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为,且.
（1）求的解析式;
（2）将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求函数的单调递减区间.
17．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，求周长的取值范围.
18．如图,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.设向量,在斜坐标系xOy中的坐标分别为,.
（1）求;
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标.
19．如图所示,四棱锥中,四边形是菱形,棱长为2,,,.
(1)证明：
(2)若,求
(3)若,M为边的中点,G为四棱锥表面上一动点且恒有,求动点G的轨迹长.
参考答案
1．答案：B
解析：由复数,所以z的虚部为.
故选：B.
2．答案：A
解析：,
故选：A
3．答案：C
解析：由直线与平面的位置关系概念,可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系,
因为直线l与平面不平行,所以l与相交或.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为，，，所以由正弦定理得：
5．答案：D
解析：由题可知E为三角形的重心,
则,
,,
.
故选：D.
6．答案：D
解析：由展开图可得如下直观图,由正方体的性质可知平面,则即为与底面的夹角,
设正方体的棱长为1,则,,
所以,即与底面的夹角的余弦值为.
故选：D.
7．答案：C
解析：在中,,,,
所以,
所以,
由正弦定理,
可得,
在直角中,因为
所以,
即塔高为.
故选:C.
8．答案：B
解析：设,,
所以,
又,所以,
因为,
所以,
所以,解得,
所以,
故选：B.
9．答案：BC
解析：由题知,
,
因为,,
所以,,
即的范围为.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：对于A中,如图(1)所示,在正方体中,连接,,
连接,在正方形中,可得,
由平面,平面,所以,
因为且,平面,所以平面,
又因为平面,所以,
连接,同理可证平面,因为平面,所以,
因为且,平面,所以平面,
因为平面,所以,所以A正确;
对于B中,当点P不与B重合时,过点P作,
因为,所以,所以平面即为平面,
如图所示,在正方形中,与不垂直,
所以与平面不垂直,所以B不正确;
对于C中,分别连接,,
在正方体,因为,平面,平面,
所以平面,同理可证：平面,
因为且,平面,所以平面平面,
因为平面,所以平面,
又因为P是上的一动点,
所以点P到平面的距离等于点B到平面的距离,且为定值,
因为的面积为定值,所以三棱锥的体积为定值,所以C正确;
对于D中,将绕着展开,使得平面与平面重合,
如图(2)所示,连接,当P为和的交点时,
即P为的中点时,即时,取得最小值,
因为正方体中,,可得,,
在等边中,可得,在直角中,可得,
所以的最小值为,所以D正确.
故选：ACD.

11．答案：ABD
解析：,
因为函数最小正周期为,,所以,则,
又函数过点,所以,即,
所以,,
所以,,又,所以,
所以,易知函数的定义域为R,且,所以为偶函数,故A正确;
令,,则,,当时,的一条对称轴为,故B正确;
令,,则,,
当时,在上单调递减,若在上单调递减,则a的取值范围为,故D正确;
把的图象向左平移个单位长度后得到函数,
则,故C错误.
故选：ABD.
12．答案：
解析：
.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,,,
所以,
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
14．答案：8
解析：如图所示,把四面体放置在一个如图所示的长方体中,
设长方体的长、宽和高分别为a,b,c,
可得,解得,,所以长方体的体积为,
又由,
所以四面体的体积为.
故答案为：8.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,因为,D为的中点,所以.
又因为底面,底面,所以,
因为,且,面,所以平面,
又因为平面,所以平面平面.
(2)连接并延长,与过点B且与平行的直线交于点E,可得,
由(1)知平面,所以面,
所以直线与平面的夹角即为,
又由,,
在直角中,可得,
即直线与平面的夹角的正弦值为.
16．答案：（1）
（2）,.
解析：（1）由已知得的最小正周期,所以,
从而,又,,所以,
所以.
（2）由已知得.
故,
令,,得,,
所以函数的单调递减区间为,.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得：，
，
（2）因为，，所以，故
由正弦定理得：
所以，
所以周长
因为，则，所以
故
所以周长的取值范围为.
18．答案：（1）3
（2）
解析：（1）由题可知:,,,
则.
（2）
记与的夹角为,
则向量在向量上的投影向量为,
所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)连接,依题意O为的中点,
, ,
又四边形是菱形,所以,
因为,,平面,
平面,平面, .
(2)取中点F,连接并与交于点E,
四边形是菱形,,
为等边三角形,所以E为其重心,
为的三等分点且,,
又,
,又,所以,,,平面,
平面,又平面, ,
由(1)知平面,平面,
,又,,平面,
平面,平面,
,
,所以,
,
又,,则,
,又,
;
(3)作,与延长线交于点N,与延长线交于点,
作于H,连接,作,则,
与交于点S,与交于点,
,,,,平面
平面,
,, 平面,平面,所以平面,
同理可证平面,
又,,平面,所以平面平面,
平面,
五边形即为动点G的轨迹,
易知,,,
又, ,,
,,
,,
, ,
,
由对称性易知,
,
,,
所以轨迹长
.