许昌市建安区第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份许昌市建安区第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知平面，的法向量分别为，，且，则的值为( )
A.-8B.-4C.4D.8
2．若是平面a的一个法向量,且,与平面a都平行,则向量( )
A.B.
C.D.
3．已知，则直线通过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
4．已知直线和互相平行,则( )
A.B.C.或D.或
5．设e是椭圆的离心率,且,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知两定点,,动点P满足,则当和5时,P点的轨迹为( )
A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线
7．已知P为椭圆上一点,O为坐标原点,,为椭圆C的左、右焦点,若,且,的面积为4,则该椭圆的标准方程为( )
A.B.C.D.
8．若过定点且斜率为k的直线与圆在第四象限有交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．以下命题正确的是( )
A.为直线l的方向向量，为直线m的方向向量，则l与m垂直
B.为直线l的方向向量，为平面的法向量，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10．设有一组圆,则下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化,圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.存在定直线始终与圆相切
D.若,则圆上总存在两点到原点的距离为1
11．如图,,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是,在第一象限内的交点,若,则( )
A.双曲线的渐近线为B.的离心率为
C.的方程为D.的面积为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆上,且不与椭圆的左、右顶点重合,则下列关于的说法正确的有( )
A.的周长为
B.当时,中
C.当时,的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点P,使得为直角三角形
三、填空题
13．如图,在三棱柱中,所有棱长均为1,且底面,则点到平面的距离为____________.
14．过点可作圆的两条切线,则实数k的取值范围是___________.
15．已知椭圆,直线.椭圆上一点P,直线上一点Q,则的最小值是__________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为,,P是椭圆上一点,是以为底边的等腰三角形,且,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.
四、解答题
17．如图,在平行六面体中,底面是边长为a的正方形,侧棱的长为b,且.
求：（1）的长;
（2）直线与所成角的余弦值.
18．已知圆,直线.
（1）求证：直线l恒过定点.
（2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
19．如图,在几何体中,四边形是矩形,平面,,,G,F分别是线段,的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知的顶点,边上的中线所在直线方程为,边上的高所在直线方程为.求：
（1）顶点C的坐标;
（2）直线的方程.
21．已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是的中点,直线l与相交于点P.
（1）求圆A的方程;
（2）是否为定值？如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）设过点且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A,B,求面积最大时直线l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：因为平面，的法向量分别为，，且，所以，即，则，故选A.
2．答案：D
解析：由题意, 知,,
即,
解得
所以
3．答案：A
解析：直线，因为，，所以，，所以直线过第一、二、三象限.故选A.
4．答案：D
解析：因为直线和互相平行,
当时两条直线不平行,即则,且
化简可得
解方程可得或
经检验或都满足题意
故选：D.
5．答案：D
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：如图
因为,
因为,
又因为,
,
,
所以,,
,,
所以,,
,,
,
所以,
所以椭圆的标准方程为.
故选：A.
8．答案：B
解析：
9．答案：AD
解析：，，直线l与m垂直，A正确；
，
，或，B错误；
，不共线，与不平行，故C错误；
，，向量是平面的法向量，即则，D正确.故选AD.
10．答案：ABC
解析：
11．答案：BD
解析：
12．答案：AD
解析：
13．答案：
解析：如图
连接,,,
设点到平面的距离为h,则,
,所以.
14．答案：
解析：把圆的方程化为标准方程得:,
圆心坐标为,半径 ,
则点到圆心的距离 ,
因为点在圆外时,
过点 总可以向圆作两条切线,
即 ,且,解得:,则实数k的取值范围是 ,
故答案为 .
15．答案：
解析：如图,由直线l的方程与椭圆的方程可以知道, 直线l与栯圆不相交.
设直线m平行于直线l且与椭圆相切,
则直线m的方程可以设成,
由方程组,消去y,
得,
令,得,得或,
由图可知, 当时,直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近,
此时取得最小值, 直线m的方程为,
而直线m与直线l间的距离,
故的最小值为
故答案为:.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
所以
（2）
所以
,
,
,
所以直线与所成角的余弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：直线l的方程可化为,
联立解得.
所以直线恒过定点.
（2）当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长.
当直线时,直线被圆截得的弦长最短,
直线l的斜率为,
由解得此时直线l的方程是
圆心到直线的距离为,
,
所以最短弦长是.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图,取的中点H,连接,,因为G是的中点,
所以,且.又F是的中点,所以.
由四边形是矩形,得,,
所以,且,从而四边形是平行四边形,
所以.又平面,平面,
所以平面.
（2）如图,在平面内,过B点作.
因为,所以.
又因为平面,所以,.
以B为原点,分别以,,所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,因为平面,
所以为平面的法向量.设为平面的法向量.
又,,
由得
取,得.从而,
即平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为边上的高所在直线方程为,
所以,又因为点,
所以边所在直线方程为.
又因为边上的中线所在直线方程为,
由得所以.
（2）设,则的中点在中线上,
所以,即.
又点在高所在直线上,所以.
由解得所以.
所以直线的方程为,即.
21．答案：（1）
（2）是定值,且
解析：（1）设圆A的半径为R.因为圆A与直线相切,
所以,所以圆A的方程为.
（2）因为,所以,
所以.
当直线与轴垂直时,得,则,
又,所以.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由,得,所以,
所以.
综上所述,是定值,且.
22．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为,可得,则,,
由椭圆的定义可得,得,
所以,因此,椭圆E的标准方程为.
（2）由题意,设点,,设直线l的方程为,
联立消去x可得,
由根与系数的关系可得,,所以,,令,则,当且仅当时,即当时,等号成立,此时直线l的方程为或.