四川省攀枝花市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省攀枝花市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了2B， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

2024.7
本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列满足，则首项（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ）
A. B. 12C. 18D. 24
4. 已知函数满足，则在处的导数为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值
D. 在区间上有2个极大值点
6. 设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.6
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ）
A 5.6B. 6.4C. 7.2D. 8
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有6项
B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 展开式常数项为540
D. 展开式的有理项共有3项
10. 甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
12. 若函数存在两个极值点，则（ ）
A. 函数至少有一个零点B. 或
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则正整数=____.
14. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为__________亿元.
15. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为__________（用数字作答）.
16. 已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在处有极值.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
18. 近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区位购车车主性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）
（2）请将上述列联表补充完整，根据小概率值独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数；
②参考数据：；
③卡方临界值表：
其中，.
19. 已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面.

（1）求证：点是棱的中点；
（2）若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
21. 2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为.
（1）请将表格内容补充完整（写出计算过程）；
（2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望；
（3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）讨论函数的零点个数.0
1
0.1
0.8
0.1
0
1
2
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
第年
1
2
3
4
5
收入（单位：亿元）
3
8
10
14
15
年份
销量（万台）
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7.879
10.828
体育锻炼项目情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
2023—2024学年度（下）普通高中教学质量监测
高二数学试题卷
2024.7
本试题卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将答题卡上对应数字标号涂黑.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解即得.
【详解】由随机变量服从正态分布，得，而，
则，
所以.
故选：D
2. 已知等比数列满足，则首项（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，列出关于的方程组，再求解即得.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以.
故选：C
3. 由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ）
A. B. 12C. 18D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】按个位数字是0和2分类求解即得.
【详解】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是，
当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是，
所以不同的排法种数为.
故选：A
4. 已知函数满足，则在处的导数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对给定等式求导，赋值求出即可.
【详解】函数，求导得，
因此，即，
所以.
故选：D
5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值
D. 在区间上有2个极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值.
【详解】由导函数的图象可知：
故选：C
6. 设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解.
【详解】由，得，
由，
得，所以.
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小.
【详解】设，（），因为，
由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
所以，
又，，所以.
再设，（），因为，
由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
所以.
又，即.
故.
故选：A
8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ）
A. 5.6B. 6.4C. 7.2D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解.
【详解】依题意，，
由是唯一的最大值，得，即，
则，整理得，解得，
而，因此，所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有6项
B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 展开式的常数项为540
D. 展开式的有理项共有3项
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出幂指数，再结合展开式的通项，逐项判断即可.
【详解】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得，
对于A，展开式共7项，A错误；
对于B，二项式系数最大的项是第4项，B正确；
二项式展开式的通项，
对于C，由，得，则展开式的常数项，C正确；
对于D，由为整数，得，因此展开式的有理项共有4项，D错误.
故选：BC
10. 甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用期望、方差的定义计算判断AD；利用期望、方差的性质计算判断CD.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC
11. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断个选项的准确性.
【详解】如图：以中点为原点，建立空间直角坐标系.
则：，，，，，，，.
所以，，，，.
设平面的法向量为：，则：
，取.
对A：因为，所以平面不成立，故A错误；
对B：因为，所以成立，故B正确；
对C：点到平面的距离为：，故C正确；
对D：设直线与所成的角为，则，故D正确.
故选：BCD
12. 若函数存在两个极值点，则（ ）
A. 函数至少有一个零点B. 或
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出零点判断A；由导函数有两个不等的正零点判断B；利用一元二次方程根的分布判断C；计算并构造函数，探讨函数的最小值判断D.
【详解】对于A，由，得是的一个零点，A正确；
对于B，函数定义域为，
求导得，由存在两个极值点，
得方程有两个不相等的正实根，即有两个变号零点，
因此，且，解得，B错误；
对于C，由，，得，则，C正确；
对于D，
，
令，求导得，
即在上单调递增，因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：导数研究函数的极值问题，关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知，则正整数=____.
【答案】4
【解析】
【分析】由组合数和排列数公式列方程求解.
【详解】因为，
即，解得，满足题意.
故答案为：4
14. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为__________亿元.
【答案】19
【解析】
分析】先根据线性回归方程一定经过样本中心点求，再利用回归方程进行预计.
【详解】因为：，，由线性回归方程一定经过样本中心点，可得：
，所以，即.
当时，.
故答案为：19
15. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为__________（用数字作答）.
【答案】30
【解析】
【分析】分甲入选，乙没入选，乙入选，甲没入选和甲乙均入选三种情况，求出不同选法相加即可.
【详解】若甲入选，乙没入选，从除了乙之外的5人选择3人，有种情况，
若乙入选，甲没入选，同理可得，有种情况，
若甲乙均入选，则从除甲乙外的5人中选择2人，有种情况，
综上，共有种情况.
故答案为：30
16. 已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，由此求得的最大值.
（2）对因式分解，将此方程有三个不同实数解，转化为，的解的个数来求解的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值.
（2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为.
当时，当时，，当时，.
由，即.
由上述分析可知有一个解.故需有两个不同的解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值，考查利用导数研究方程的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在处有极值.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；
（2）最大值20，最小值2.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点、极值建立方程求解并验证即得.
（2）由（1）求出函数的单调区间，再求出最值.
【小问1详解】
函数，求导得，
依题意，，解得，此时，
当或时，当时，，则在处取得极大值，因此，
，由，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，且函数在上递增，在上递减，
当时，，，
所以函数在上的最大值是，最小值是.
18. 近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与之间的线性相关关系的强弱；（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）
（2）请将上述列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数；
②参考数据：；
③卡方临界值表：
其中，.
【答案】（1）0.96，y与x之间的线性相关性较强
（2）表格见解析，认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05.
【解析】
【分析】（1）根据公式计算相关系数，进而判断相关性强弱；
（2）完成联表，根据公式计算，结合临界值表判断是否有关.
【小问1详解】
由表格知：，，
所以，
，
，
由上，有，
所以与之间线性相关性较强；
【小问2详解】
依题意，完善表格如下：
则的观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于.
19. 已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与的关系求出；利用等比中项的定义求出，进而求出.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位丰减法求和即得.
【小问1详解】
数列的前项和为，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
由是与的等比中项，得，又，则，
整理得，又，解得，于是，
所以数列的通项公式分别为，.
【小问2详解】
由（1）知，，
，
于是，
两式相减得，
所以.
20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面.

（1）求证：点是棱的中点；
（2）若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，利用线面平行的性质定理可得答案；
（2）利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角，求出，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】

连接交于点，连接，
因为为矩形，所以点是是中点，
因为平面，平面，平面平面，
所以，因为点是是中点，
所以点是棱的中点；
【小问2详解】
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为为矩形，所以，
因为，平面，
所以平面，所以就是与平面所成的角，
可得，，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
设是平面一个法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
设是平面的一个法向量，
可得，所以，
令，可得，所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.

21. 2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为.
（1）请将表格内容补充完整（写出计算过程）；
（2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望；
（3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.
【答案】（1）表格见解析；
（2）分布列见解析，期望；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数，从而可补充表格内容.
（2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望.
（3）利用条件概率的计算公式即可求解.
【小问1详解】
设事件C为“甲上午选择羽毛球”，事件为“甲下午选择羽毛球”，
设甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为，
则，解得，
所以甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为，
【小问2详解】
依题意，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；
乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为．
记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值，则的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
所以．
【小问3详解】
记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，
由题意知，
.
故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为．
【点睛】结论点睛：求有两种方法：基于样本空间Ω，求出，则；以A为样本空间，求出A，AB包含的样本点数，则.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解.
（2）求出函数的导数，分类讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及函数最值情况探讨零点即可.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线为，即，
直线交轴于点，交于点，
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
【小问2详解】
函数的定义域为，
求导得，
当时，则，函数在上单调递减，
显然，当时，，，
则，，，
于是，因此函数有唯一零点；
若，由得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，，
显然函数在上单调递增，
当时，，函数无零点；
当时，，函数有唯一零点；
当时，，当时，，，
则，，，于是，函数在上有一个零点，
当时，显然，，
，
因此，令，求导得，
即在上单调递增，，于是，
从而函数在上有一个零点，
于是当时，函数有两个零点，
所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
0
0
非负
递增
极大值
递减
极小值
递增
0
1
0.1
0.8
0.1
0
1
2
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
第年
1
2
3
4
5
收入（单位：亿元）
3
8
10
14
15
年份
销量（万台）
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
女性车主
总计
体育锻炼项目情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
体育锻炼项目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
15天
5天
10天
10天
10天
5天
25天