2023-2024学年江西省部分学校高二（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江西省部分学校高二（上）月考数学试卷（10月份），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点A（﹣1，4），B（2，7）在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）若圆x2+y2﹣4x+8y+2m＝0的半径为2，则实数m的值为（ ）
A．﹣9B．﹣8C．9D．8
3．（5分）已知直线mx﹣y﹣4＝0与直线（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，则实数m＝（ ）
A．﹣5B．1C．D．3
4．（5分）已知椭圆C：+＝1，A（0，﹣4），B（0，4），过A作直线PQ与C交于P，Q两点，则△BPQ的周长为（ ）
A．24B．20C．16D．12
5．（5分）在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x+2y﹣3＝0与x+2y+7＝0，则梯形ABCD的面积为（ ）
A．9B．18C．D．
6．（5分）当直线l：mx+y﹣m﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣4x＝0截得的弦长最短时，实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
7．（5分）已知O是坐标原点，若圆C：x2+y2+6x﹣8y+a＝0上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣24，16）B．[﹣24，16]C．（﹣16，24）D．[﹣16，24]
8．（5分）已知点P在椭圆上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为，则a的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知椭圆的左焦点为F，点P是C上任意一点，则|PF|的值可能是（ ）
A．B．3C．6D．8
（多选）10．（5分）已知三条直线：直线l1：ax+y﹣3＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x﹣y﹣5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
（多选）11．（5分）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点（1，1）在圆C1的内部，则﹣2＜m＜4
B．若m＝2，则圆C1，C2的公共弦所在的直线方程是4x﹣14y+9＝0
C．若圆C1，C2外切，则
D．过点（3，2）作圆C2的切线l，则l的方程是x＝3或7x﹣24y+27＝0
（多选）12．（5分）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x﹣y﹣8＝0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x﹣6y+6＝0
D．“将军饮马”走过的总路程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）顺次连接椭圆＝1的四个顶点，得到的四边形面积等于 ．
14．（5分）圆心为C（2，1），且与x轴相切的圆的标准方程为 ．
15．（5分）已知直线l经过点（1，1），且A（﹣4，﹣1），B（﹣2，3）两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为 ．
16．（5分）已知圆C上的任意一点到两个定点A（2，0），B（﹣2，0）的距离之比为，则圆C的方程是 ；在直线l：3x+4y+m＝0上存在点P满足：过P作圆C的切线，切点分别为M，N，且四边形PMCN的面积为，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）．
（1）若直线l的倾斜角为120°，求k的值；
（2）已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若a＝﹣3b，求直线l的方程．
18．（12分）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
19．（12分）（1）已知点M到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x＝5的距离之比为，求点M的轨迹方程；
（2）已知点A是圆x2+y2＝9上的动点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点P在线段AB上，且，求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么图形．
20．（12分）已知半径为4的圆C与直线l1：3x﹣4y+8＝0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l2：kx﹣y+3＝0与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线l2的方程．
21．（12分）已知椭圆的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知椭圆C的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝6，点M是C上任意一点（与A，B不重合），直线MA，MB分别与直线l：x＝5交于点P，Q，O为坐标原点，求．
22．（12分）已知m是实数，圆C的方程是x2+y2﹣（m+6）x﹣2y+m+5＝0．
（1）若过原点O能作出直线与圆C相切，求实数m的取值范围；
（2）若m＞﹣4，圆C与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A，B．问：是否存在实数m，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江西省部分学校高二（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为．
【解答】解：直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为α，则tanα＝1，
因为α∈[0，π），所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案．
【解答】解：由x2+y2﹣4x+8y+2m＝0，得（x﹣2）2+（y+4）2＝20﹣2m，
所以，解得m＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
3．【分析】根据直线平行的条件求解即可．
【解答】解：∵直线mx﹣y﹣4＝0与直线（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，
∴m×3﹣（﹣1）×（2m﹣5）＝0，解得m＝1．
当m＝1时，直线x﹣y﹣4＝0与直线﹣3x+3y+2＝0平行，故m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】根据题圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：∵椭圆C：+＝1，
∴a＝6，b＝，c＝4，且焦点在y轴上，
∴A（0，﹣4），B（0，4）为椭圆的焦点，
又过A作直线PQ与C交于P，Q两点，
∴△BPQ的周长为|PQ|+|PB|+|QB|
＝（|PA|+|PB|）+（|QA|+|QB|）＝4a＝24．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
5．【分析】根据直线方程可得AB∥CD，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案．
【解答】解：由直线AB的方程为：x+2y﹣3＝0，直线CD的方程为x+2y+7＝0
可知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离，
所以梯形ABCD的面积为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题．
6．【分析】根据直线方程可得直线l经过定点A（1，1），再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得m＝﹣1．
【解答】解：将直线l的方程变形为m（x﹣1）+y﹣1＝0，
由可导，所以直线l经过定点A（1，1），
圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），因为（1﹣2）2+12＜4，所以点A在圆C内，
故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时直线l被圆C截得的弦长最短，
因为，直线l的斜率为﹣m，
所以﹣m×（﹣1）＝﹣1，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．【分析】先求出到原点O的距离为2的轨迹方程O：x2+y2＝4，再由题意可知圆C与圆O有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：将圆C的方程化为标准方程得（x+3）2+（y﹣4）2＝25﹣a，所以a＜25，
到原点O的距离为2的轨迹方程为x2+y2＝4，
因为圆C上有2个点到O的距离为2，所以圆C与圆O：x2+y2＝4相交，
所以，又，
解得﹣24＜a＜16，即实数a的取值范围为（﹣24，16）．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8．【分析】根据椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，即可求解．
【解答】解：∵设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，θ∈[0，π]，
则根据题意可得：，
∴tanθ＝＝＝﹣，又θ∈[0，π]，
∴θ＝，∴csθ＝，∴mn＝4，
又m+n＝2a≥＝4，当且仅当m＝n＝2时，等号成立，
∴a≥2．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的定义，三角形面积公式，基本不等式，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】根据到焦点距离的范围求解即可．
【解答】解：由题意可知a＝4，b＝，c＝3，
所以a﹣c≤|PF|≤a+c，
即1≤|PF|≤7．
故选：BC．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
10．【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数a的值．
【解答】解：若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；
若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝﹣2；
联立l2，l3可得，可知l2，l3的交点为（2，﹣1），
若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
11．【分析】根据点在圆的内部解不等式1+1+2m﹣10+m2＜0即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由点（1，1）在圆C1的内部，得1+1+2m﹣10+m2＜0，解得﹣4＜m＜2，故A错误；
对于B，若m＝2，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x﹣14y+9＝0，故B正确；
对于C，圆C1的标准方程为（x+m）2+（y﹣5）2＝25，圆心为C1（﹣m，5），半径r1＝5，
圆C2的标准方程为x2+（y+2）2＝9，圆心为C2（0，﹣2），半径r2＝3，
若圆C1，C2外切，则|C1C2|＝r1+r2，即，解得，故C正确；
对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x＝3，圆心C2到l的距离d＝3＝r2，满足要求，
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x﹣3）+2，
圆心C2到l的距离，解得，
所以l的方程是7x﹣24y+27＝0，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查圆方程的综合应用，涉及圆的标准方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题．
12．【分析】由点关于直线的对称点可得B′的坐标，从而求得直线AB'的方程即可判断A；由两直线的交点可判断B；求直线BM的方程可判断C；由直线的对称性可判断D．
【解答】解：由题可知A，B在x+y﹣3＝0的同侧，设点B关于直线x+y﹣3＝0的对称点为B'（a，b），
则，解得，即B'（1，﹣3），
将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB'，又因为A（2，4），所以直线AB'的方程为7x﹣y﹣10＝0，故A错误；
设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x﹣y﹣10＝0与x+y﹣3＝0的交点，所以，故B正确；
将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又因为B（6，2），所以直线BM的方程为x﹣7y+8＝0，故C错误；
总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查直线与点的对称性，直线的方程等，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】确定椭圆＝1的四个顶点，根据对称性，即可求出四边形面积．
【解答】解：椭圆＝1的四个顶点为（±5，0），（0，±4），
∴顺次连接椭圆＝1的四个顶点，得到的四边形面积为4××5×4＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查椭圆的性质，正确运用椭圆的对称性是关键．
14．【分析】由圆的圆心C（2，1），且与x轴相切可求r＝1，从而可得该圆的标准方程．
【解答】解：∵该圆的圆心C（2，1），且与x轴相切，
∴圆心C（2，1）到x轴的距离等于半径，则该圆的半径为r＝1，
∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
【点评】本题考查圆的方程的求法，由题意得半径是关键，是基础题．
15．【分析】根据直线l与直线AB平行，过定点的直线l过线段AB的中点进行分类讨论，从而求得l的方程．
【解答】解：到点AB距离相等的直线平行于AB或线段AB的中垂线，
直线AB的斜率k＝，
当过（1，1）且平行于直线AB的直线l方程为：y﹣1＝2（x﹣1），y＝2x﹣1．
线段AB的中点坐标为（﹣3，1），
当过（1，1）且是线段AB的中垂线时，即直线过（1，1）与线段AB中点（﹣3，1）的直线l的方程为y＝1．
所以直线y＝1或y＝2x﹣1符合题意．
故答案为：y＝1或y＝2x﹣1．
【点评】本题考查到两定点的距离相等的直线的求法，属于基础题．
16．【分析】根据所给条件建立方程化简即可求出轨迹方程，再由圆的切线的性质及所给四边形面积求出|PC|＝4，由圆心到直线距离小于等于4建立不等式求解即可．
【解答】解：设（x，y）是圆C上的任意一点，则，
化简得圆C的方程为（x+4）2+y2＝12．
圆心C的坐标为（﹣4，0），半径为，由题意知PM⊥CM，PN⊥CN，
所以，，解得|PC|＝4．
又点P在直线l：3x+4y+m＝0上，所以|PC|不小于C到直线l的距离，
即，解得﹣8≤m≤32，即实数m的取值范围是[﹣8，32]．
故答案为：（x+4）2+y2＝12；[﹣8，32]．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）由直线斜率与倾斜角的关系，求k的值；
（2）求出直线l在x轴，y轴上的截距，根据方程得到k的值，可求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
（2）在直线l的方程中，令y＝0，得，即，
令x＝0，得y＝1﹣2k，即b＝1﹣2k，
由a＝﹣3b，得，即6k2﹣5k+1＝0，解得或，
所以直线l的方程为x﹣3y+1＝0或x﹣2y＝0．
【点评】本题考查了直线的点斜式、截距式方程，是基础题．
18．【分析】（1）利用直线的两点式求得直线BC的方程为x﹣y﹣4＝0，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入坐标联立解方程组即可求得结果．
【解答】解：（1）直线BC的方程为，
化简可得x﹣y﹣4＝0，
所以点A到直线BC的距离．
（2）设ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得
，即解得；
故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于中档题．
19．【分析】（1）设出点M的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程；
（2）设P（x，y），A（m，n），根据题意结合可得A（x，3y），代入圆A的方程即可求得轨迹方程．
【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），
由题意可得，两边平方得，
整理得，所以点M的轨迹方程为．
（2）依题意，设P（x，y），A（m，n），则B（x，0），
因为，则，
则，可得，解得，即A（x，3y）．
因为点A在圆x2+y2＝9上，则x2+9y2＝9，即，
所以点P的轨迹方程是，点P的轨迹是椭圆．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及椭圆的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出半径，再应用圆的标准方程即可求解；
（2）根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由已知可设圆心C（0，b）（b，0），
则，解得b＝﹣3或b＝7（舍），
所以圆C的方程为x2+（y+3）2＝16；
（2）设圆心C到直线l2的距离为d，
则，
即d4﹣16d2+64＝0，解得，
又，所以，解得，
所以直线l2的方程为或．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21．【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率；
（2）设出点M坐标，写出直线MA和MB的方程求出交点P，Q坐标，利用化简的表达式即可求得结果．
【解答】解：（1）根据题意可得椭圆C的上顶点的坐标为（0，b），左、右焦点的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），
由题意可知，即，
又a2＝b2+c2，所以，即，
可得椭圆C的离心率．
（2）由|AB|＝6，得2a＝6，即，
所以椭圆C的方程为．
如图所示：
设M（x0，y0），则，即，
又A（﹣3，0），B（3，0），则直线MA的方程为，
直线MB的方程为；
因为直线MA，MB分别与直线l：x＝5交于点P，Q，
可得，
所以．
即．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，椭圆的性质，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
22．【分析】（1）由题意原点O在圆C上或圆外，则点O到圆心的距离大于等于半径，从而可得答案．
（2）若存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM，则kAN+kBN＝0，由此条件先求出M，N的坐标，假设出交点A，B的坐标，表示出kAN，kBN，最后利用韦达定理解出a．
【解答】解：（1）因为过原点O能作出直线与圆C相切，所以原点O在圆C上或圆外．
所以，即，解得m≥﹣5，
所以所求实数m的取值范围是[﹣5，+∞）．
（2）在x2+y2﹣（m+6）x﹣2y+m+5＝0中，令y＝0得x2﹣（m+6）x+m+5＝0，即（x﹣1）（x﹣m﹣5）＝0，解得x＝1，或x＝m+5，
因为m＞﹣4，点M在点N的左侧，所以M（1，0），N（m+5，0）．
假设存在实数m，使得∠ANM＝∠BNM，则NA、NB的斜率互为相反数．
①当直线AB与x轴垂直时，显然∠ANM＝∠BNM，此时m是大于﹣4的任意实数．
②当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），代入x2+y2＝4，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
，
而（x1﹣1）（x2﹣m﹣5）+（x2﹣1）（x1﹣m﹣5）＝2x1x2﹣（m+6）（x1+x2）+2（m+5）
＝
＝，
令，解得m＝﹣1（满足m＞﹣4）．
所以m＝﹣1时，kNA+kNB＝0．
综上所述，存在实数m＝﹣1，使得∠ANM＝∠BNM．
【点评】本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系、两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．