2023-2024学年天津市北辰区朱唐庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年天津市北辰区朱唐庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（10月份），共14页。试卷主要包含了单项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，4，5}，则A∩（∁UB）（ ）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{2，4，6}D．{0，2，4，6}
2．（5分）设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3，4}，C＝{x∈R|x2﹣3x+2＞0}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{0，3，4}
3．（5分）已知全集U＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，集合A＝{x∈Z|x（2﹣x）≥0}，集合B＝{1，2，3}，则集合∁U（A∪B）＝（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2，3}
C．{﹣1，0，3，4，5，6}D．{﹣1，4，5，6}
4．（5分）已知p：0＜x＜2，q：﹣1＜x＜3，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知a≠0，命题p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，命题q：a+b+c＝0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）设x∈R，则“”是“|x﹣1|＜4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）下列可能是函数的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
9．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示．则y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．y＝﹣xcsxB．
C．D．y＝sinx+xcsx
10．（5分）10．设a＝30.7，b＝lg32，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
11．（5分）设a＝lg34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a＝f（lg20.2），b＝f（20.2），c＝f（0.20.3），则a，b，c大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜a＜c
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
14．（5分）复数（其中i为虚数单位），则||＝ ．
15．（5分）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为 ．
16．（5分）在的展开式中，x4的系数是 ．
17．（5分）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 ．
18．（5分）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
三、解答题（每题15分，共60分）
19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，c＝2，．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sinA；
（Ⅲ）求sin（B﹣2A）的值．
20．（15分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，，2csinA＝bsinC．
（1）求b的值；
（2）求sinA的值；
（3）求的值．
21．（15分）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，点E、F'分别为线段PB、CQ的中点．
（1）求证：EF∥平面PADQ；
（2）求直线EF与平面PCQ夹角的正弦值；
（3）求点F到面PAC的距离．
22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，为PD的中点．
（1）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（2）求点N到直线BC的距离；
（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
2023-2024学年天津市北辰区朱唐庄中学高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择（每题5分，共60分。每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）
1．【分析】根据补集和交集的定义求解．
【解答】解：由题意，∁UB＝{0，1，3，6}，
则A∩（∁UB）＝{1，3}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．【分析】根据一元二次不等式化简集合C，进而由集合的交并补运算即可求解．
【解答】解：C＝{x∈R|x2﹣3x+2＞0}＝{x|x＞2或x＜1}，
由A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3，4}得，A⋃B＝{0，1，2，3，4}，
所以（A⋃B）⋂C＝{0，3，4}，
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
3．【分析】求出集合U、A，利用并集和补集的定义可求得集合∁U（A⋃B）．
【解答】解：因为U＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤6}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，
A＝{x∈Z|x（2﹣x）≥0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，
又因为B＝{1，2，3}，
所以A∪B＝{0，1，2，3}，
所以∁U（A⋃B）＝{﹣1，4，5，6}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
4．【分析】根据充分必要条件的定义，由命题p，q的范围即可判断．
【解答】解：因为命题p是命题q的子集，
所以命题p能推出命题q，命题q不能推出命题p，
所以命题p是命题q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于容易题．
5．【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案．
【解答】解：对于命题p，x＝1为方程的根，则a+b+c＝0，充分性成立；
对于命题q，a+b+c＝0且a≠0，则x＝1必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以p是q的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据方程根的关系是解决本题的关键．
6．【分析】先分别求出分式不等式及绝对值不等式的解集，结合集合的包含关系与充分必要条件的转化可求．
【解答】解：由得（x﹣2）（x﹣5）＜0，
解得2＜x＜5，
由|x﹣1|＜4得﹣4＜x﹣1＜4，
解得﹣3＜x＜5，
而（2，5）⫋（﹣3，5），
故“”是“|x﹣1|＜4”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式不等式及绝对值不等式的求解，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
7．【分析】判断函数的定义域及奇偶性，再由x＞1时，函数值的符号即可得出正确选项．
【解答】解：函数y＝f（x）＝的定义域为R，
且f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，故排除选项AB；
当x＞1时，y＞0，故排除选项D．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
8．【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案．
【解答】解：因为函数f（x）定义域为{x|x≠0}，，
所以，
所以函数f（x）为奇函数，故A选项错误，
又因为当x＞1时，，函数单调递增，故B和C选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的应用，是基础题．
9．【分析】根据y＝f（x）的图象关于原点对称排除部分选项，再由x＝0，x＝π时的函数值判断．
【解答】解：y＝f（x）的图象关于原点对称，则y＝f（x）是奇函数，排除B；
当x＝0时，f（x）＝0，排除C；
当x＝π时，f（x）＞0，排除D．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
10．【分析】由对数函数的性质可判断c＜0，0＜b＜1，由指数函数的性质可判断a＞1，由此可得答案．
【解答】解：10＜1＝0，
a＝30.7＞30＝1，0＜b＝lg32＜lg33＝1，
所以a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
11．【分析】利用单调性和中间值即可判断大小．
【解答】解：因为函数y＝（）x在R上单调递减，且，
所以＝1，即＜3＜1，得0＜b＜c＜1，
又因为a＝lg34＞lg33＝1，得a＞1，
所以b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查利用单调性和中间值判断对数值大小，属于基础题．
12．【分析】直接利用函数的单调性和奇偶性的应用及对数的运算的应用求出数的大小关系．
【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为单调递减函数，
由于a＝f（lg20.2）＝f（﹣lg25）＝f（lg25），b＝f（20.2），c＝f（0.20.3），
又lg25＞2＞20.2＞1＞0.20.3＞0，
故a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性和奇偶性的应用，对数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、填空题（每题5分，共30分）
13．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝1+5i．
故答案为：1+5i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则||＝|z|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
15．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：＝＝，
则，其虚部为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及虚部的定义，属于基础题．
16．【分析】直接利用二项式的展开式及组合数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得：，r＝0，1，2，3，4，5，6，
只需，可得r＝4，
所以．
故答案为：60．
【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17．【分析】根据二项式系数和得到n＝6，再计算第三项的二项式系数即可．
【解答】解：展开式的二项式系数和为2n＝64，故n＝6，
展开式中第三项的二项式系数为．
故答案为：15．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18．【分析】直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
【解答】解：已知的展开式中各项系数和为243，即3n＝243，解得n＝5；
所以＝，
令r＝3，故常数项为．
故答案为：80．
【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
三、解答题（每题15分，共60分）
19．【分析】（Ⅰ）运用余弦定理，即可得解；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中所得与正弦定理，即可得解；
（Ⅲ）先利用余弦定理求出csA的值，再由二倍角公式，可得cs2A和sin2A的值，然后根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，
所以28＝a2+4﹣2a•2•，即a2﹣2a﹣24＝0，
解得a＝6或﹣4（舍负），
所以a＝6．
（Ⅱ）由正弦定理知，＝，所以＝，
所以sinA＝．
（Ⅲ）由余弦定理知，csA＝＝＝﹣，
所以cs2A＝2cs2A﹣1＝﹣，sin2A＝2sinAcsA＝﹣，
所以sin（B﹣2A）＝sinBcs2A﹣csBsin2A＝×（﹣）﹣×（﹣）＝﹣．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）利用正弦定理化角为边，可得，再由余弦定理，即可得解；
（2）易知，a＝1，利用正弦定理，即可得解；
（3）结合同角三角函数的平方关系与二倍角公式，推出，，再根据两角和的正弦公式，展开运算得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及2csinA＝bsinC，知2ac＝bc，
∵c≠0，∴，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcsC，
∴，解得b＝2或b＝﹣2（舍去），
故b＝2．
（2）由，C∈（0，π），知，
由（1）知，，
由正弦定理得，，
∴sinA＝＝＝．
（3）∵a＜b，∴A为锐角，∴，
∴，，
∴．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可；
（2）利用空间向量可求线面角的正弦值；
（3）利用空间向量可求点到的面距离．
【解答】解：（1）证明：根据PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，又底面ABCD是正方形，则AB⊥AD，
可以建立如图所示以A为原点，
AB、AD、AP所在直线对应x、y、z轴的空间直角坐标系，
则B（3，0，0），C（3，3，0），D（0，3，0），Q（0，3，1）P（0，0，3），，，
所以＝（0，3，﹣1），＝（3，0，0），
易知是平面PADQ的一个法向量，而•＝0，
EF⊂平面PADQ，所以EF∥平面PADQ；
（2）由（1）知，＝（3，0，﹣1），
设平面PCQ的一个法向量为＝（x，y，z），
则有，所以，令x＝1，z＝3，y＝2，即＝（1，2，3），
设直线EF与平面PCQ夹角为α，所以sinα＝|cs＜，＞|＝＝；
（3）由（1）知＝（﹣3，3，0），＝（﹣，0，），
显然是平面PAC的一个法向量，
则点F到面PAC的距离为d＝＝＝＝．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查点到面的距离的求法，属于中档题．
22．【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面PAD与平面PBC的法向量，根据向量的夹角公式计算即可．
（2）计算，再根据点到直线的距离公式计算得到答案．
（3）令，λ∈[0，1]得到M点坐标，确定平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案．
【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，
CD＝2，AB＝1，为PD的中点，
Q为CD中点，连接AQ，则AB＝CQ＝1，AB∥CQ，AB⊥BC，
则四边形ABCQ为矩形，故AQ⊥AB，
以AQ，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（0，1，0），，，P（0，0，1），．
设平面PAD的法向量为，则，
取x1＝1得到，
设平面PBC的法向量为，则，
取y2＝1得到，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为：
．
（2），，
则，
，故，
点N到直线BC的距离为
（3）令＝λ，λ∈[0，1]，设M（x，y，z），
∴（x﹣，y+1，z）＝λ（，1，1），∴M（，λ﹣1，λ），
∴＝（，λ﹣2，λ）．
由（1）知，平面PBC的法向量为＝（0，1，1），
∵直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，
∴＝||＝，化简得21λ2﹣50λ+24＝0，即（3λ﹣2）（7λ﹣12）＝0，
∵λ∈[0，1]，∴λ＝，
故＝．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角和线面角的求法，熟练利用空间向量处理二面角、线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．