2023-2024学年陕西省商洛市部分学校高三（上）段考数学试卷（理科）（10月份）（一）

这是一份2023-2024学年陕西省商洛市部分学校高三（上）段考数学试卷（理科）（10月份）（一），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知集合，B＝{x|x2≤9}，则[﹣3，+∞）＝（ ）
A．∁R（A⋂B）B．∁R（A⋃B）C．A⋂BD．A⋃B
3．（5分）已知函数f（x）＝x2sinx﹣1，若f（x0）＝10，则f（﹣x0）＝（ ）
A．﹣12B．﹣11C．﹣10D．10
4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最大值为（ ）
A．3B．7C．11D．15
5．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，且是公差为﹣1的等差数列，则Sn的最大值为（ ）
A．12B．22C．37D．55
6．（5分）对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数，若将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（ ）
A．96B．144C．240D．360
9．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱C1D1上，且BP＝3，则点A，C到平面BB1P的距离之和为（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）在△ABC中，是线段AD上的动点（与端点不重合），设，y∈R），则的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与抛物线交于点M，且|MF|＝4，则p＝ ．
14．（5分）某品牌新能源汽车2019﹣2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为 万辆．
15．（5分）已知数列{an}满足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝ ．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）满足f′（x）＞﹣f（x），若，则满足不等式的x的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3．
（Ⅰ）求cs∠CAD；
（Ⅱ）若，求BC．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°．
（Ⅰ）证明：平面ABD∥平面FEC1；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
19．（12分）已知椭圆C：过点（2，3），且C的右焦点为F（2，0）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x＝8上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPM+kPN＝2kPF．
20．（12分）小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0＜p＜1），且每个科目每次考试的结果互不影响．
（Ⅰ）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．
（Ⅱ）以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值．
（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；
（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E（X）．
21．（12分）已知函数，m∈R且m≠0．
（Ⅰ）若当x∈（0，π）时，f（x）≥1恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若∃x1，x2∈（0，π）且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|2+|PB|2的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x+1|，g（x）＝4+|2x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+2≤g（x）的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+g（x）≥2a2﹣13a的解集为R，求实数a的取值范围．
2023-2024学年陕西省商洛市部分学校高三（上）段考数学试卷（理科）（10月份）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】利用复数的运算化简求解即可．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本运算，属于基础题．
2．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算判断即可．
【解答】解：因为，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，
所以A⋃B＝[﹣3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的运算与不等式的解法，属于基础题．
3．【分析】根据f（x）＝x2sinx﹣1得到f（﹣x），再由f（x0）＝10求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝x2sinx﹣1，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）﹣1＝﹣x2sinx﹣1，
所以f（x）+f（﹣x）＝﹣2，
又f（x0）＝10，
所以f（﹣x0）＝﹣12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
4．【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，再利用z的几何意义求目标函数的最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，目标函数化为y＝﹣4x+z，
表示斜率为﹣4的一组平行线，当直线过点A时，直线截距最大，即z取得最大值，
联立，得，即A（3，﹣1），
所以zmax＝4×3﹣1＝11．
故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力，是基础题．
5．【分析】根据是公差为﹣1的等差数列，求出{an}的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案．
【解答】解：由题意a1＝10，且是公差为﹣1的等差数列，
所以的首项为，
则，
故an＝13﹣3n，则数列{an}为a1＝10，公差为﹣3的等差数列，且为递减数列，
令an＝13﹣3n≥0，∴，
即等差数列{an}的前4项为正项，从第5项开始为负，
故Sn的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及数列与函数的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
6．【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案．
【解答】解：若[x]＞[y]，则必有[x]＞y≥[y]，结合x≥[x]可得x＞y，
所以“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分条件；
反之，若x＞y，取x＝1.2，y＝1.1，可知[x]＝[y]，即[x]＞[y]不成立．
因此“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分不必要条件，A项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了取整函数的应用、充分必要条件的定义与判断等知识，属于基础题．
7．【分析】由三角函数图象变换求出g（x），再结合余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：的图象向左平移m个单位长度后，
得到的图象对应函数g（x）＝cs，
因为y＝g（x）的图象关于坐标原点对称，
所以（k∈Z），即，
因为m＞0，故当k＝0时，m取得最小值．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8．【分析】利用排列组合的简单计数即可求解．
【解答】解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，
另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，
所以安排方法种数为．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合的简单应用，属于基础题．
9．【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点A，C 到平面BB1P的距离分别转化点A1，C1到平面BB1P的距离求解即可．
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，B1P⊂平面A1B1C1D1，
则BB1⊥B1P，由BP＝3，得，
在Rt△B1C1P中，∠B1C1P＝90°，则，即点P为C1D1中点，
又因为AA1∥BB1，BB1⊂平面BB1P，AA1⊄平面BB1P，因此AA1∥平面BB1P，
于是点A到平面BB1P的距离等于点A1到平面BB1P的距离，
同理点C到平面BB1P的距离等于点C1到平面BB1P的距离，
连接A1P，过A1，C1分别作B1P的垂线，垂足分别为O1，O，
如图，由＝，得，解得，
在Rt△B1C1P中，，
则，
所以点A，C到平面BB1P的距离之和为．
故选：B．
【点评】本题考查点到平面的距离，属于中档题．
10．【分析】设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大；设正四棱锥的底面对角线长为2b，当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大；设正六棱锥的底面边长为c，当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大．由此能求出正三棱锥、正六棱锥的体积之比．
【解答】解：现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，
设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．
设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以，
可得正三棱锥的体积为．设正四棱锥的底面对角线长为2b，
当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以S＝bh，
可得正四棱锥的体积为，
设正六棱锥的底面边长为c，当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，所以S＝ch，
可得正六棱锥的体积为．
所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为，即．
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的结构特征及相关计算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，x＞0，y＞0，则，化简后利用基本不等式可求得结果．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为A，D，E三点共线，所以，x＞0，y＞0，
所以
＝
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．
12．【分析】根据题意求得sin∠AOF的值，表示出A点坐标，代入双曲线方程，整理可得关于a，c的齐次式，即可求得离心率．
【解答】解：由题意可知，且∠AOF为锐角，
故，
而|OA|＝|OF|＝c，
故，
将代入中，
得，
结合b2＝c2﹣a2整理得13c4﹣98a2c2+49a4＝0，
即13e4﹣98e2+49＝0，
解得e2＝7或，
由于双曲线离心率e＞1，
故舍去，
故，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】由题意可得M的坐标，进而利用|MF|＝4，可求得p．
【解答】解：把y＝4代入抛物线方程y2＝2px（p＞0），得，
根据抛物线的定义有，解得p＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，属基础题．
14．【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解．
【解答】解：设2020年的销量为a，2021年的销量为b，5＜a＜b＜22，
由题意可知，中位数为，平均数为，
由，得a+b＝26，
所以这四年的总销量为5+a+b+22＝53万量．
故答案为：53．
【点评】本题考查中位数和平均数公式，属于基础题．
15．【分析】根据已知推得{an+1}是首项为a1+1＝2，公比为3的等比数列，进而得到数列{an}的通项公式，即可求解结论．
【解答】解：因为数列{an}满足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，
由，解得，又a2＝3a1+2，所以a1＝1．
另一方面由an+1＝3an+2，可得an+1+1＝3（an+1），
所以{an+1}是首项为a1+1＝2，公比为3的等比数列，
所以，
易知{an}是递增数列，又a4＝2×27﹣1＝53，a5＝2×81﹣1＝161，
所以满足an＞160的最小正整数n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
16．【分析】构造函数g（x）＝exf（x），求出函数的导数，求出函数的单调性，问题转化为g（x）＞1＝g（ln3），求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意，对任意x∈R，都有f′（x）＞﹣f（x）成立，即f′（x）+f（x）＞0，
构造函数g（x）＝exf（x），则g′（x）＝f′（x）ex+f（x）ex＝ex[f′（x）+f（x）]＞0，
所以函数g（x）在R上单调递增．不等式即exf（x）＞1，即g（x）＞1，
因为，所以，
故当x＞ln3时，g（x）＞g（ln3）＝1，
所以不等式g（x）＞1的解集为（ln3，+∞），
即所求的x的取值范围为（ln3，+∞）．
故答案为：（ln3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17．【分析】（Ⅰ）在△ACD中由正弦定理可求得sin∠CAD的值，再结合∠CAD＜90°与同角三角函数基本关系即可求得；
（Ⅱ）由题可求得cs∠BAC，再在△ABC中由余弦定理即可求得BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得，
所以＝，
由题设知∠CAD＜90°，
所以；
（Ⅱ）因为∠BAC+∠CAD＝90°，
所以，
在△ABC中，由余弦定理得：
，
所以．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
18．【分析】平面内两条相交直线与另一个平面平行，则平面与平面平行．
建立空间直角坐标系，利用坐标求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为E，F分别是BC，AC的中点，
所以AB∥EF．
因为AC∥A1C1，，
所以四边形AFC1D为平行四边形，
所以AD∥FC1，
又因为AD⋂AB＝A，FE⋂FC1＝F，
所以ABD∥平面FEC1．
解：（Ⅱ）因为AC＝2，CB＝1，∠ACB＝60°，
由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BCcs∠ACB＝3，
所以AB2+BC2＝AC2，由勾股定理可得AB⊥BC．
建立如图所示的空间直角坐标系．
故B（0，0，0），，，C（1，0，0）．
从而，，．
设平面ABD的法向量为，
由，得，
取x＝4，则为平面ABD的一个法向量，
所以，
所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查面面平行的证明以及线面角的计算，属于中档题．
19．【分析】（Ⅰ）由右焦点坐标可得c，由点（2，3）满足椭圆方程可得a，b的方程，结合a，b，c的关系式，解方程可得a，进而得到离心率；
（Ⅱ）联立直线MN的方程与椭圆的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得证明．
【解答】解：（Ⅰ）由C的右焦点为F（2，0），可得c＝2，
即a2﹣b2＝4，
由点（2，3）在椭圆上，可得+＝1，
解方程可得a＝4，b＝2，
所以双曲线的离心率为e＝＝；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知C的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（8，y0）．
由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣2，
联立，消去y可得7x2﹣16x﹣32＝0，
则，，
则
＝
＝＝，
又，
因此kPM+kPN＝2kPF．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，以及椭圆与直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．【分析】（Ⅰ）利用概率的求法公式可得f（p）＝3p2（1﹣p），再根据导数讨论单调性和最值；
（Ⅱ）（i）分三类情况求解：第一次考试都合格；第一次考试2门合格，1门不合格；第一次考试1门合格，2门不合格；（ii）根据缴费与补考科目的关系求解．
【解答】解：（Ⅰ）小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0＜p＜1），且每个科目每次考试的结果互不影响，
由题意知f（p）＝3p2（1﹣p），0＜p＜1，
则f′（p）＝﹣9p2+6p＝3p（2﹣3p），
当时，f′（p）＞0，
当时，f′（p）＜0，
所以当时，f（p）取最大值，即；
（Ⅱ）（ⅰ）小李第一次考试3个科目都合格的概率为，
小李第一次考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率为，
小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率为，
所以小李这项资格考试过关的概率为；
（ⅱ）每个科目每次考试要缴纳20元的费用，X的所有可能取值为60，80，100，
则，，
，
故．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的期望，属于中档题．
21．【分析】（Ⅰ）问题转化为，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值，从而求出m的取值范围即可；
（Ⅱ）问题等价于g（x1）＝g（x2），求出，要证，转化为证，根据函数的单调性转化为证明，
令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，π）时，sinx＞0，
所以由，可得，
令，则，
令g′（x）＝0，则sinx＝csx，而x∈（0，π），得，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜π，
故g（x）在上单调递增，在上单调递减，
故，
故m的取值范围为．
（Ⅱ）证明：易知f（x）≠0，故f（x1）＝f（x2），
等价于，等价于g（x1）＝g（x2），
不妨设x1＜x2，由（Ⅰ）可知，
要证，即证，
又g（x）在上单调递减，
故需证，即，
令，
则h′（x）＝g′（x）+g′（﹣x）＝（csx﹣sinx）（﹣），
当时，csx﹣sinx＞0，，
故h′（x）＞0，h（x）在上单调递增，
故，即，
故．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（1）根据sin2α+cs2α＝1消参即可，根据极坐标和直角坐标互化公式即可；
（2）先求出直线l的参数方程，联立曲线C的普通方程，由t的几何意义即可求解．
【解答】解：（1）由曲线C的参数方程消去参数α，得普通方程为．
因为，所以，
将ρcsθ＝x，ρsinθ＝y代入得，即x﹣y+2＝0．
（2）由于直线l与x轴的交点坐标为（﹣2，0），倾斜角为，
所以直线l的参数方程为（t为参数），
代入，得，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，
所以．
【点评】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，属于基础题型．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【分析】（1）分段讨论解绝对值不等式；
（2）f（x）+g（x）≥2a2﹣13a恒成立问题，先求得f（x）+g（x）的最小值为7，再解不等式2a2﹣13a≤7即可．
【解答】解：（1）由f（x）+2≤g（x），可得2|x+1|+2≤4+|2x﹣1|，
当时，原不等式可化为2（x+1）+2≤4+（2x﹣1），化简得4≤3，不成立；
当时，原不等式可化为2（x+1）+2≤4﹣（2x﹣1），解得，故；
当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣2（x+1）+2≤4﹣（2x﹣1），化简得0≤5，恒成立，故x≤﹣1．
综上可知x的取值范围为．
（2）因为f（x）+g（x）＝|2x+2|+4+|2x﹣1|≥|2x+2﹣（2x﹣1）|+4＝7，
当（2x+2）（2x﹣1）≤0，即时，f（x）+g（x）取最小值，且最小值为7，
由题可知关于x的不等式f（x）+g（x）≥2a2﹣13a的解集为R，即不等式恒成立，
所以7≥2a2﹣13a，解得，故实数a的取值范围是．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．