高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.3 两条直线的位置关系优质导学案

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.3 两条直线的位置关系优质导学案，文件包含串讲04两条直线的位置关系考点串讲原卷版docx、串讲04两条直线的位置关系考点串讲解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共19页， 欢迎下载使用。

要点梳理
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 过一点与已知直线平行的直线方程
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1.
知识点三 两条直线的交点坐标
(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．
一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)).
当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；
当方程组__无__解时，l1与l2平行；
当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合．
知识点四 两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__．
[归纳总结] 当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．
知识点五 距离公式
1、两点间的距离公式
一般地，设、为平面内任意两点，
、之间的距离
2、点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__.
3、两条平行直线间的距离
一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C1|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．
题型探究：
考点一 两直线平行的判定
例1. 下列说法中正确的有（ ）
①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；
②若，则；
③所有的直线都有倾斜角；
④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例.
【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；
对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误；
对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；
对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.，
故正确的个数为2.
故选：B
例2. 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
[分析] 斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
[解析] (1)k1＝eq \f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq \f(－1－4,－1－3)＝eq \f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝eq \f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合．
(3)k1＝eq \f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq \f(0－3,2－－1)＝－1，则有k1＝k2.
又kAM＝eq \f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
【归纳提升】两直线平行的判定及应用
1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．
2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．
【变式】1. 直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．重合D．异面
【答案】A
【解析】由斜率和纵截距判断．
【详解】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，
直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，
两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行．
故选：A．
2. 已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝
【答案】1
【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果
【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即，
又因为，为两条不同的直线，所以，所以
故答案为：1
考点二 两直线的交点问题
例3. 直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（2，0）C．（1，1）D．（-1，1）
【答案】A
【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标．
【详解】由，得，即交点坐标为(0，2).
故选：A．
例4．两直线和的交点为 ．
【答案】
【分析】
联立两条直线的方程可得交点.
【详解】由题意可得，解得，
交点坐标为.
故答案为：
【归纳提升】 两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
【变式】1.已知直线，则与的交点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立两直线方程，解方程即可得出交点的坐标.
【详解】由题意知，
，
所以两直线的交点为，
故选：A
2. 一次函数与的图象的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】将一次函数的解析式联立起来，解方程组即可.
【详解】联立次函数的解析式可得：，解得，于是图象的交点坐标为．
故答案为：．
考点三 两条直线垂直关系的判断
例5. 判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)；
(2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)；
(3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)．
【解析】 (1)直线l1的斜率k1＝eq \f(2－－2,1－－1)＝2，直线l2的斜率k2＝eq \f(1－－1,2－－2)＝eq \f(1,2)，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直．
(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝eq \f(20－20,5－－5)＝0，所以l1⊥l2.
(3)直线l1的斜率k1＝eq \f(1＋3,－1－2)＝－eq \f(4,3)，直线l2的斜率k2＝eq \f(2－－1,4－0)＝eq \f(3,4)，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
【归纳提升】两条直线垂直的判定条件：
(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；
(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．
【变式探究】1．已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案.
【详解】两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C
2.已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
【答案】B
【详解】根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直
故选：B
考点四 平行、垂直的应用
例6．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.
【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
[归纳提升] 过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
例7．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.
【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.
故选：C.
【变式探究】1. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线斜率，利用点斜式写出直线方程即可.
【详解】直线斜率为，
故经过点，且与直线平行的直线方程为，
整理得.
故选：B.
2. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.
【详解】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为，
故由点斜式可得，即，
故选：B
考点五 点到直线的距离公式
例8. 原点到直线间的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.
【详解】原点到直线间的距离是：.
故选：A
例9. 已知点到直线的距离为2，则 ．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故答案为：
[归纳提升] 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．
2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
【变式探究】1. 已知点，直线：，则点到直线的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】已知点，直线，则点到直线l的距离,
故选：.
2．已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率 .
【答案】0或
【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】当直线的斜率不存在时，即为轴，不满足条件，舍去．
直线的斜率存在时，设直线的方程为，
点，到直线的距离为1，
，
化为，
解得或．
故答案为：0或．
考点六 求两平行直线的距离
例9. 两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.
【详解】由直线与直线平行，
得，解得，
所以两直线分别为和，即和，
所以两直线间距离，
故选：D.
例10. 若： 与 ：平行，则 ．
【答案】3
【分析】根据两直线平行的条件列方程，解方程得到m的值，将m的值代入方程验证即可.
【详解】因为直线： 与 ：平行，
所以，解得，
将代入两直线方程，得： ， ：，两直线平行.
故答案为：3
[归纳提升] 求两平行直线间距离的两种思路：
(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两条平行直线间距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【变式】1.两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为：，：，
所以它们之间的距离为.
故选：B.
2. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为
【答案】/
【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解.
【详解】由.
所以直线：
所以与之间的距离：
故答案为：
素养作业
1. 下列说法中，正确的个数为（ ）
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交；
④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可
【详解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以①不正确；
若两条直线都垂直于x轴，则这两条直线的斜率都不存在，所以②不正确；
若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以④不正确；显然③正确．
故选：A．
2. 直线和的位置关系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定
【答案】B
【解析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.
【详解】由，因此该直线的斜率为：.
由，因此该直线的斜率为：，
因为，所以这两条直线相交但不垂直.
故选：B
3. 过点和点的直线与轴的位置关系是
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】B
【解析】根据两点纵坐标相同即可判断出位置关系.
【详解】两点的纵坐标都等于 直线方程为：
直线与轴平行
本题正确选项：
4. 已知点，若直线与直线垂直，则实数（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.
【详解】直线的斜率为：，
因为直线与直线垂直，
所以，解得：.
故选：B.
5．已知直线，，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直的关系求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
6．点且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】与直线平行，计算出斜率，用点斜式写出直线方程即可.
【详解】直线的斜率为-2，所以所求直线的方程为，
即.
故选：A.
7. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂直关系设出直线方程为，代入点的坐标，求出答案.
【详解】与直线垂直的直线方程可设为，
将代入可得，解得，
故过点且与直线垂直的直线方程为.
故选：B
8．已知点，，且，则a的值为（ ）
A．1B．C．或D．1或
【答案】D
【分析】根据两点间的距离公式即可求出答案.
【详解】由两点间的距离公式，可得，解得或.
故选：D.
9．两平行直线和之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】平行直线和之间的距离.
故选：A
10．若直线与直线垂直，则的值为 ．
【答案】
【分析】由两直线垂直的条件求解.
【详解】结合题意：由两直线垂直可得：解得：.
故答案为：.
11．点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|= ．
【答案】
【分析】直接利用两点间的距离公式计算得到结果.
【详解】由两点间的距离公式得.
12. 已知点到直线的距离为，则 .
【答案】或
【分析】利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】由点到直线的距离公式得，得或.
故答案为：或.
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔__k1＝k2__
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示