中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.4 圆精品导学案

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要点梳理
知识点一 圆的标准方程
知识点二 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
知识点三 圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))，半径为r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当D2＋E2－4F>0时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
知识点四 用“待定系数法”求圆的方程的步骤：
①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
知识点五 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
知识点六 解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
题型探究：
考点一 圆的标准方程
例1. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.
【详解】由题意可得方程为.
故选：C.
例2. 已知两点和，则以为直径的圆的方程是
例3．经过三点的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【归纳提升】 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．
【变式】1. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2. 写出一个圆心在x轴上，半径为1的圆的标准方程 ．
3.已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点二 判断点与圆的位置关系
例4. 已知圆的标准方程是，则点（ ）
A．在圆外B．在圆内
C．在圆上D．不能确定
例5．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【归纳提升】 点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
【变式】1. 已知圆的方程是，则点（ ）
A．在圆心B．在圆上
C．在圆内D．在圆外
2. 已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为 ．
考点三 圆的一般方程
例6. 圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
例7.已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【归纳提升】形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
【变式】1．圆的圆心坐标为 ，半径为 ．
2. 已知方程表示圆，则k的取值范围是 ．
考点四 用待定系数法求圆的方程
例8．经过三点的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
[归纳提升] (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆；
(2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解
【变式】1. 求经过三点，，的圆的方程.
考点五 直线与圆的位置关系
例9. 判断圆与下列直线的位置关系：
(1)；
(2)；
(3)．
【归纳提升】 直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．
【变式】1. 直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交但不过圆心
C．相离D．相交且过圆心
2．已知圆，则直线和圆的位置关系为 .
考点七 直线与圆相切
例10. 圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例11.过作圆的切线，则其切线方程为 .
【归纳提升】求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出．
【变式】1. 过圆上一点M（－1，2）作圆的切线l，则l的方程是（ ）
A．B．C．D．
2. 若点在圆上，则过的圆的切线方程为 .
考点八 直线与圆相交
例12. 求直线被圆截得的弦长.

例13.直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式】直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
考点九 与直线、圆有关的应用问题
例14. 光线从点射到点后被x轴反射,判断反射光线是否经过点.
光线从点射到点后被x轴反射,根据直线MP的斜率为，直线PQ的斜率为，直线MP的斜率和直线PQ的斜率互为相反数,故它们的倾斜角互补,根据反射定律,反射光线经过点.
【变式】如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq \r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．求圆C的方程；
素养作业
1. 圆心为，半径为5的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2. 以点，为直径端点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3. 圆的圆心坐标和半径长分别为( )
A．和2B．和
C．和1D．和
4. 圆心为且过原点的圆的方程是 .
5．已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为 ．
6．圆的半径为
7. 若点在圆上，则实数m＝ .
8．点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与的值有关
9．已知原点O在圆的外部，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．直线与圆的位置关系是 .（选填“相交”、“相切”、“相离”）
11．已知圆，直线被圆C截得的弦长为 .
12. （1）写出下列圆的标准方程：
①圆心为，半径是；
②圆心为，且经过点.
（2）求下列各圆的圆心坐标和半径：
①；
②.
基本
要素
当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径
标准
方程
圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
图示
说明
若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋
(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋
(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋
(y0－b)2位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
__2__个
__1__个
__0__个
判断方法
几何法：设圆心到直线的距离为
d＝__eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))__
__d__d＝r__
__d>r__
代数法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))
消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
__Δ>0__
__Δ＝0__
__Δ<0__