重庆合川区凉亭中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】

这是一份重庆合川区凉亭中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，某村的居民自来水管道需要改造，如图所示分别平分和，则的度数为等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ）
A．70°B．80°C．65°D．60°
2．计算的结果是
A．B．C．D．
3．点 关于 轴的对称点 的坐标是
A．B．C．D．
4．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
5．在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为( )
A．36°B．45°C．135°D．144°
6．如图，在，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作弧线，交于点．已知，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，是以，，，为顶点的等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲、乙两队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．设这项工程的规定时间是x天，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示分别平分和，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式：a2－4＝________．
12．已知（a-2）2+=0，则3a-2b的值是______．
13．比较大小：_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）
14．如图，已知AC=BD， 要使ABCDCB， 则只需添加一个适合的条件是_________（填一个即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2019的坐标是_____．
16．已知a+＝5，则a2+的值是_____．
17．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是___________.
18．如图，已知，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当BD+CD最短时，的度数是_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先化简，再求值：，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数作为m的值，代入求值．
20．（6分）如图1，已知，，且，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，折叠纸片，使点与点重合，折痕为，且．
①求证：；
②点是线段上一点，连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，点在整个运动过程中用时最少多少秒？
21．（6分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图.乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注人乙槽.甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间(分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题:
（1）图2中折线表示 槽中的水的深度与注水时间的关系，线段表示 槽中的水的深度与注水时间的关系(填“甲”或“乙”)，点的纵坐标表示的实际意义是 ；
（2）当时，分别求出和与之间的函数关系式；
（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水深度相同？
（4）若乙槽底面积为平方厘米(壁厚不计) ，求乙槽中铁块的体积．
22．（8分）甲、乙两人两次同时在同一家超市采购货物（假设两次采购货物的单价不相同），甲每次采购货物100千克，乙每次采购货物用去100元．
（1）假设a、b分别表示两次采购货物时的单价（单位：元/千克），试用含a、b的式子表示：甲两次采购货物共需付款 元，乙两次共购买 千克货物．
（2）请你判断甲、乙两人采购货物的方式哪一个的平均单价低，并说明理由．
23．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
24．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=42，∠C=70，求：∠DAE的度数.
25．（10分）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）解分式方程：
26．（10分）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【详解】解：如图，∵直线l1∥l2，∠1=140°，
∴∠1=∠4=140°，∴∠5=180°﹣140°=40°．
∵∠2=70°，∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°．
∵∠3=∠6，∴∠3=70°．
故选A．
2、B
【分析】首先通分，然后进行同分母分式的减法运算即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】
此题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
3、A
【分析】再根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．
【详解】解：∵
∴M点关于x轴的对称点的坐标为，
故选A.
【点睛】
此题考查关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律
4、C
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形底角的问题，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5、D
【分析】一个外角与其相邻的内角和是180°，设内角为x，根据题意列方程4x+x=180°，求解即可.
【详解】设内角为x，则4x+x=180°，
解得x=36°，
所以外角=4x=436°=144°，
故选D.
【点睛】
本题考查了三角形的外角和内角和，根据题意列出方程是解题的关键.
6、C
【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．
【详解】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=1，即AC的长为：1．
故答案为：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
7、A
【分析】设点A2，A3，A4…，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：在直线，
，
，
设，，，，，，，，，
则有，，，，
又△，△，△，，都是等腰直角三角形，
，，，．
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，，，，，
又，
，，，，，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．
8、C
【分析】设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，利用工作量=工作效率×工作时间即可得出方程．
【详解】设这项工程的规定时间是x天，
∵甲队单独施工恰好在规定时间内完成，乙队单独施工，完工所需天数是规定天数的1.5倍，
∴甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要1.5x天，
∵甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，找出等量关系是解题关键．
9、C
【分析】首先根据三角形的内角和求出∠BAC、∠BCA的度数和，然后根据三角形的角平分线的定义，用∠BAC、∠BCA的度数和除以2，求出∠OAC，∠OCA的度数和，最后根据三角形的内角和可求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠B=100°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-∠B=180°-100°=80°,
又∵AO平分∠BAC，CO平分∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA =（∠BAC+∠BCA）=40°,
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-40°=140°．
故答案为：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形角平分线的定义，解答此题的关键是求出∠OAC，∠OCA的度数和．
10、C
【分析】因式分解的概念：把一个多项式在一个范围内分解，化为几个整式乘积的形式，这种式子变形叫做因式分解，据此逐一进行分析判断即可.
【详解】A. ，整式乘法，故不符合题意；
B. ，不是因式分解，故不符合题意；
C. ，是因式分解，符合题意；
D. ，故不符合题意，
故选C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (a＋2)(a－2)；
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【详解】解：a2-4=（a+2）（a-2）．
故答案为：(a＋2)(a－2)．
考点：因式分解-运用公式法．
12、1
【分析】根据非负数的性质列式求出、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵（-2）2+=2，
∴-2=2，b+2=2，
解得：=2，b=-2，
则3-2b=3×2-2×（-2）=6+4=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为2时，这几个非负数都为2．
13、＞．
【解析】先求出1=，再比较即可．
【详解】∵12=9＜10，
∴＞1，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
14、AB=DC
【分析】已知AC=BD，BC为公共边，故添加AB=DC后可根据“SSS”证明ABCDCB．
【详解】解：∵BC为公共边，
∴BC=CB，
又∵AC=BD，
∴要使ABCDCB，只需添加AB=DC即可
故答案为：AB=DC
【点睛】
本题考察了全等三角形的判断，也可以添加“∠ABC=∠DCB”，根据“SAS”可证明ABCDCB．
15、（673，0）
【分析】由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
故答案为 （673，0）．
【点睛】
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.
16、1
【分析】根据完全平分公式，即可解答．
【详解】解：a2+＝．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查完全平方公式的运用,关键在于通过条件运用完全平方公式解决问题.
17、（5，-1）．
【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【详解】∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，
∴点P1的坐标是（5，1），
∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，-1）．
故答案为：（5，-1）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
18、
【分析】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使，通过含30°直角三角形的性质可知是等边三角形，又因为AB=BC，根据等腰三角形三线合一即可得出，则答案可求．
【详解】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使，则AE是的垂直平分线,此时BD+CD最短



∴是等边三角形
∵AB=BC


故答案为：90°．
【点睛】
本题主要考查含30°直角三角形的性质及等腰三角形三线合一，掌握含30°直角三角形的性质及等腰三角形三线合一是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、，1．
【分析】先把括号内通分，再进行减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件把m＝1代入计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
∵m＝2或﹣2或3时，原式没有意义，
∴m只能取1，
当m＝1时，原式＝＝1．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20、（1）见详解；（2）①见详解；②.
【分析】（1）直接利用AAS，即可证明结论成立；
（2）①由折叠的性质，得到BE=DE，EF平分∠BED，由DE⊥BC，得到∠DBE=∠ACB=∠FEB=45°，即可得到EF∥AC；
②当点Q是EF与BD的交点时，点在整个运动过程中用时最少；连接AQ、AD，可得△ADQ是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BD，然后得到BQ=DQ=，然后求出AQ，即可求出点P运动所用的时间.
【详解】解：（1）由题意，
∵，，BC=CB，
∴（AAS）；
（2）①如图：

由折叠的性质，得到BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BEF=∠DEF=∠DBE=∠BDE=45°；
∵，
∴∠ACB=∠DBE，
∴∠ACB=∠DBE=∠FEB=45°，
∴EF∥AC；
②如图，连接AQ交BC于点H，连接AD，当点Q是EF与BD的交点时，点在整个运动过程中用时最少；
此时AQ∥DE，AD∥BC，
∴∠ADQ=45°，∠DAQ=90°，
∴△ADQ是等腰直角三角形，
∴AD=AQ，
∵点Q时BD中点，
∴点H是BE的中点，
∵BE=DE=，，
∴，
∴，，
∴点P运动所用的时间为：
（秒）.
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.注意运用数形结合的思想.
21、（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）y甲=-2x+12，y乙=3x+2；（3）注水2分钟；（4）84cm3
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；
（2）根据题意分别求出两个水槽中y与x的函数关系式即可；
（3）根据（2）中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；
（4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；
【详解】解：（1）由题意可得：
∵乙槽中含有铁块，
∴乙槽中水深不是匀速增长，
∴折线表示乙槽中水深与注水时间的关系，
线段DE表示甲槽中水深与注水时间的关系，
由点B的坐标可得：
点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；
故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；
（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，
∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0），
∴，
解得：，
，
解得：，
∴当时， y甲=-2x+12，y乙=3x+2；
（3）由（2）可知：
令y甲=y乙，
即3x+2=-2x+12，
解得x=2，
∴当2分钟时两个水槽水面一样高．
（4）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，
当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，
设铁块的底面积为acm2，
则乙水槽中不放铁块的体积为：2.5×36cm3，
放了铁块的体积为3×（36-a）cm3，
∴1×3×（36-a）=1×2.5×36，
解得a=6，
∴铁块的体积为：6×14=84（cm3）．
【点睛】
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程或方程组解决问题.
22、（1）200a，；（2）乙的平均单价低，理由见解析．
【分析】（1）甲购买共付款200a元；乙够买了kg；
（2）设两次的单价分别为x元与y元，甲购买的平均单价，乙够买的平均单价，作差比较大小0，即可判断乙的平均单价低．
【详解】解：（1）∵甲购买的单价a元，购买200kg，
∴甲购买共付款200a元；
∵乙花费100元，购买的单价b元，
∴乙够买了kg；
（2）设两次的单价分别为x元与y元，
由题意可得：
甲购买的平均单价，
乙够买的平均单价，
∵0，
∴乙的平均单价低．
【点睛】
本题考查了列代数式；理解题意，列出代数式，并能用作差的方法比较代数式的大小是解题的关键．
23、（1） ；（2）.
【分析】（1）根据中垂线性质可知，作AB的垂直平分线，与AC交于点P，则满足PA=PB，在Rt△ABC中，用勾股定理计算出AC=8cm，再用t表示出PA=t cm，则PC=cm，在Rt△PBC中，利用勾股定理建立方程求t；
（2）过P作PD⊥AB于D点，由角平分线性质可得PC=PD，由题意PC=cm，则PB=cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求t.
【详解】（1）作AB的垂直平分线交AB于D，交AC于P，连接PB，如图所示，

由垂直平分线的性质可知PA=PB，此时P点满足题意，
在Rt△ABC中，cm，
由题意PA= t cm，PC=cm，
在Rt△PBC中，，
即，解得
（2）作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点，如图所示
∵AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PC=PD
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
∴
∴AD=AC=8cm
∴BD=AB-AD=10-8=2cm
由题意PD=PC=cm，则PB=cm，
在Rt△ABD中，
即
解得
【点睛】
本题考查了勾股定理的动点问题，熟练运用中垂线性质和角平分线性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是关键.
24、∠DAE=14°
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC．
【详解】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAE=∠EAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-42°-70°）=34°．
在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∠EAD=∠EAC-∠DAC=34°-20°=14°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高．求角的度数时，经常用到隐含在题中的“三角形内角和是180°”这一条件．
25、（1）；（2）；（3）0；（4）是该方程的根．
【分析】（1）适当变形后，利用平方差公式（）计算即可；
（2）首先计算积的乘方（）和幂的乘方（），然后从左到右依次计算即可；
（3）分别化简二次根式、绝对值，计算零指数幂（）和负指数幂（（a≠0，n为整数）），然后进行二次根式的加减运算；
（4）去分母后将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，验根，写出答案．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式=
=
=；
（3）原式=
=
=0；
（4）去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得．
经检验是该方程的根．
【点睛】
本题考查平方差公式，整式的乘除混合运算，实数的混合运算，解分式方程．（1）中熟记平方差公式并能灵活运用是解题关键；（2）中需注意在本题计算整式的乘除混合运算时，从左到右依次运算；（3）中需注意在化简绝对值后，要先将绝对值化为普通括号，以防出现符号错误；（4）中注意分式方程一定要验根．
26、见解析
【分析】由角平分线的定义可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行线的性质可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代换可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根据等角对等边即可求得EH=CH=HF，进而求得EH=HF．
【详解】∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，
∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，
∴EH＝CH，CH=HF，
∴EH＝HF.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等角对等边求解是解题关键.