重庆南开（融侨）中学2023年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】

这是一份重庆南开（融侨）中学2023年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】，共23页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．某学校计划挖一条长为米的供热管道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成．若设原计划每天挖米，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）

A．313B．144C．169D．25
5．已知点和点是一次函数图像上的两点，则a与b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
6．丽丽同学在参加演讲比赛时，七位评委的评分如下表：她得分的众数是（ ）
A．分B．分C．分D．分
7．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE=DFB．∠A=∠DC．∠B=∠CD．AB= CD
8．若分式的运算结果为，则在中添加的运算符号为（ ）
A．＋B．－C．＋或÷D．－或×
9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A．B．C．4D．7
10．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度与时间之间的关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PV⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为______cm.
12．如图，已知△ABC中， ∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D=______度．
13．若分式的值为零，则x=______．
14．已知，，则= _________ .
15．若分式有意义，则__________．
16．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．
17．如图，是边长为5的等边三角形，是上一点，，交于点，则______．
18．墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质．据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学计数法表示为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解不等式：
（1）不等式
（2）解不等式组：并将，把解集表示在数轴上
20．（6分）我们定义:如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.例如，如（1），与都是等腰三角形，其中，则△ABD≌△ACE(SAS).
（1）熟悉模型：如（2），已知与都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且，求证:；
（2）运用模型：如（3），为等边内一点，且，求的度数.小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连结，通过转化的思想求出了的度数，则的度数为 度；
（3）深化模型:如（4），在四边形中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求的长.
21．（6分）猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的和）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的和边．
（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法并在备用图上恢复原来的样子．
（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
22．（8分）如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1的坐标：A1 ，B1 ；
（3）若每个小方格的边长为1，求△A1B1C1的面积．
23．（8分）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
24．（8分）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连结．
（1）当秒时，求的长度(结果保留根号)；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）过点做于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
25．（10分）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：________；
（2）利用（1）中的结论．计算：，，求的值；
（3）根据（1）的结论．若．求的值．
26．（10分）计划新建的北京至张家口铁路全长180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的倍，用时比普通快车少20分钟．求高铁列车的平均行驶速度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】A．3.14是有限小数，属于有理数；
B．=2，是整数，属于有理数；
C．是无理数；
D．=4，是整数，属于有理数；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2、A
【分析】若计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,利用时间=路程÷速度,算出计划的时间与实际时间作差即可列出方程．
【详解】原计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,
那么原计划所有时间:;实际所有时间: ．
提前10天完成,即．
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
3、C
【解析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. =（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
4、D
【分析】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，
所以，
故，
即.
故选：D
5、C
【分析】根据一次函数的图像和性质，k＜0，y随x的增大而减小解答．
【详解】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵5＞3，
∴a＜b．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．
6、B
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【详解】这组数据出现次数最多的是1，故这组数据的众数是1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了众数的定义，解题时牢记定义是关键．
7、D
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
8、C
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：＋＝，
÷＝＝x，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
9、A
【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=.
故选A．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
10、C
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4
【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，根据平角的义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证△PMN是等边三角形:根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得MC+NC＝AC＝12cm，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2MC＝NC，即司得MC的长.
【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形∴PN=PM=MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，
∴PA＝BM＝CN，PB=MC=AN，MC+NC＝AC＝12cm，
∵∠C＝60°，∴∠MNC=30°，
∴NC=2CM，∴MC+NC=3CM=12cm,∴CM=4cm.
故答案为:4cm
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键.
12、25
【详解】根据三角形的外角的性质可得∠ACE=∠ABC+∠A， ∠DCE=∠DBC+∠D，又因为BD，CD是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线，所以∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，所以∠D=∠DCE-∠DBC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=25°．
13、-1
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】依题意，得
|x|-1=2且x-1≠2，
解得，x=-1．
故答案是:-1.
【点睛】
考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
14、
【解析】分析：根据同底数幂的除法及乘法进行计算即可．
详解：xa﹣2b=xa÷（xb•xb）=4÷（3×3）=．
故答案为：．
点睛：本题考查的是同底数幂的除法及乘法，解答此题的关键是逆用同底数幂的除法及乘法的运算法则进行计算．
15、≠
【分析】根据分式有意义的条件作答即可，即分母不为1．
【详解】解：由题意得，2x-1≠1，
解得x≠．
故答案为：≠．
【点睛】
本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分母不为1是解题的关键．
16、HL
【解析】分析: 需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL.
详解: ∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为HL.
点睛: 本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.
17、
【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=90°，∠BED=30°，
∵BD=2，
∴EB=2BD=4，
∴AE=AB-BE=5-4=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18、
【分析】根据绝对值较小的数用科学记数法表示的一般形式是（n为正整数），其中n由原数左边第一个不为0的数左边所有0的个数决定，由此易用科学记数法表示出0.1．
【详解】∵绝对值较小的数的科学记数法的表示为（n为正整数），且0.1中1左边一共有个0
∴n=-6
∴0.1=
【点睛】
本题考查的知识点是科学记数法，掌握绝对值较小的数如科学记数法表示时10的指数与原数中左边第一个不为0的数的左边所有0的个数的关系是关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2），作图见解析
【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤求解即可；
（2）先分别求解不等式，再在数轴上画出对应解集，最终写出解集即可
【详解】（1）
（2），由①解得：，由②解得：，即：，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为：
【点睛】
本题考查不等式与不等式组的求解，及在数轴上表示解集，准确求解不等式，并注意数轴上表示解集的细节是解题关键
20、（1）见解析；（2）150°；（3）
【分析】（1）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE即可；
（2）根据小明的构造方法，通过证明△BAP≌△BMC，可证∠BPA=∠BMC，AP=CM，根据勾股定理的逆定理得到∠PMC=90°，于是得到结论；
（3）根据已知可得△ABC是等腰直角三角形，所以将△ADB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE，则BD=CE，证明△DCE是直角三角形，再利用勾股定理可求CE值．
【详解】（1）∵，
∴，
在△ABD和△ACE中，
∵，
，
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴；
（2）由小明的构造方法可得，
BP=BM=PM，∠PBM=∠PMB=60°，
∴∠ABP=∠CBM，
又∵AB=BC，
∴△BAP≌△BMC，
∴∠BPA=∠BMC，AP=CM，
∵，
∴，
设CM=3x，PM=4x，PC=5x，
∵(5x)2=(3x)2+(4x)2，
∴PC2=CM2+PM2，
∴△PCM是直角三角形，
∴∠PMC=90°，
∴∠BPA=∠BMC=60°+90°=150°；
（3）∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，且AC=AB．
将△ADB绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，BD=CE．
∴∠EDA=45°，DE=AD=4．
∵∠ADC=45°，
∴∠EDC=45°+45°=90°．
在Rt△DCE中，利用勾股定理可得，
CE= ，
∴BD=CE=．
【点睛】
本题综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．
21、（1）能，具体见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A；方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB即可；方法3：将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB即可；
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论；证法2：过A作AD⊥BC于D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A．如下图所示：△ABC即为所求
方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求．
方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形；
证法2：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
【点睛】
此题考查的是根据一个底角和底边构造等腰三角形、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握垂直平分线的性质、等角对等边、等腰三角形的定义和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
22、（1）见解析；（2）A1 （0，﹣4），B1 （﹣2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为11.
【分析】（１）先作出A，B，C关于ｘ轴的对称点A1，B1，C1，再连接即可．
（２）直接写出这两点坐标即可.
(3)采用割补法进行解答即可.
【详解】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）A1 （0，﹣4），B1 （﹣2，﹣2）
（3）△A1B1C1的面积=4×6﹣×2×5﹣×2×2﹣×3×4=11
【点睛】
本题考查了轴对称的相关知识，解答的关键在于作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
23、（1）CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析.
【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．
【详解】（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴CD=BE
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS）．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等边三角形
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
24、（1）2；（2）4或16或2；（3）2或1．
【分析】（1）根据题意得BP=2t，从而求出PC的长，然后利用勾股定理即可求出AP的长；
（2）先利用勾股定理求出AB的长，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别列出方程即可求出t的值；
（3）根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据勾股定理求出AE，分别利用角平分线的性质和判定求出AP，利用勾股定理列出方程，即可求出t的值．
【详解】（1）根据题意，得BP=2t，
∴PC=16－2t=16－2×3=10，
∵AC=8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP===2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
根据勾股定理，得AB===8
若BA=BP，
则 2t=8，
解得：t=4；
若AB=AP，
∴此时AC垂直平分BP
则BP=32，
2t=32，
解得：t=16；
若PA=PB=2t，CP=16－2t
∵PA2= CP2＋AC2
则(2t)2=(16－2t)2＋82，
解得：t=2．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、2．
（3）若P在C点的左侧，连接PD

CP=16－2t
∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC
∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=2
根据勾股定理可得AE=，
∴∠EPD=∠CPD
∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP
∴DP平分∠EDC
∴PE=CP=16－2t
∴AP=AE＋EP=20－2t
∵PA2= CP2＋AC2
则(20－2t)2=(16－2t)2＋82，
解得：t=2；
若P在C点的右侧，连接PD
CP=2t－16
∵DE=DC=3，AC=8，，DC⊥PC
∴PD平分∠EPC，AD=AC－DC=2
根据勾股定理可得AE=
∴∠EPD=∠CPD
∴∠EDP=90°－∠EPD=90°－∠CPD=∠CDP
∴DP平分∠EDC
∴PE=CP=2t－16
∴AP=AE＋EP=2t－12
∵PA2= CP2＋AC2
则(2t－12)2=(2t－16)2＋82，
解得：t=1；
答：当t为2或1时，能使DE=CD．
【点睛】
此题考查的是勾股定理的应用、等腰三角形的定义、角平分线的性质和判定，掌握利用勾股定理解直角三角形、根据等腰三角形腰的情况分类讨论和角平分线的性质和判定是解决此题的关键．
25、（1）；（2）-1或1；（3）
【分析】（1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间空白正方形的面积，也等于4个长为a，宽为b的长方形的面积，即可得出结论；
（2）将，代入（1）中等式即可；
（3）将的两边同时除以x并整理可得，然后根据（1）中等式可得，从而得出结论．
【详解】解：（1）图中大正方形的边长为，中间空白正方形的边长为，所以阴影部分的面积为：；阴影部分也是由4个长为a，宽为b的长方形组成，所以阴影部分的面积为：4ab
∴
故答案为：；
（2）将，代入（1）中等式，得
解得：-1或1；
（3）∵有意义的条件为：x≠0
将的两边同时除以x,得
∴
由（1）中等式可得
将代入，得
变形，得
【点睛】
此题考查的是利用阴影部分的不同求法推导等式，掌握阴影部分的面积的不同求法和等式的变形及应用是解决此题的关键．
26、
【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为，京张高铁列车的平均速度为，利用京张高铁列车用时比普通快车少20分钟得出相等关系进而求出答案．
【详解】解：设普通快车的平均行驶速度为，则京张高铁列车的平均行驶速度为，由题意得：
解之得：
经检验，是原方程的解，
∴
答：高铁列车的平均行驶速度为．
【点睛】
本题考查知识点是列分式方程解决实际问题，解题的关键是找到包含题目全部含义的相等关系．
评委代号
评分